【2021愛知医科大学・医学部】群数列｜一般項、k群までの総和、初項から第n項までの和

【2021愛知医科大学・医学部・第２問】

次のように郡に分けられた数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) を考える．

\(1\),\(1\)｜\(2\)｜\(3\),\(3\)｜\(4\),\(4\),\(4\),\(4\),\(4\)｜\(5\),\(5\),\(5\),\(5\),\(5\),\(5\),\(5\),\(5\),\(5\),\(5\)｜\(6\),\(6\),\(6\),\(\cdots\)

第 \(k\) 群には \(c_{k}\) 個の \(k\) が並んでいるとすると，数列 \(\left\{c_{k}\right\}\) の一般項は \(k\) の \(2\) 次式で表されるとする．このとき，次の問いに答えよ．

１)　数列 \(\left\{c_{k}\right\}\) の一般項を求めよ．

２)　数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) の初項から第 \(k\) 項の末項までの和 \(S(k)\) を求めよ．

３)　数列 \(\left\{a_{k}\right\}\) の初項から第 \(n\) 項までの和が \(2500\) を超えるような最小の \(n\) の値を求めよ．

解答・解説

数列 \(\left\{c_{k}\right\}\) の一般項を

\(c_{k}=pk^2+qk+r\) ( ただし \(p\not=0\) ) とおく．

\(c_{1}=2\)，\(c_{2}=1\)，\(c_{3}=2\) より

\(\begin{cases}p+q+r=2\\4p+2q+r=1\\9p+3q+r=2\end{cases}\)

\(\iff\) \(p=1,q=-4,r=5\)

したがって数列 \(\left\{c_{k}\right\}\) の一般項は

\(c_{k}=k^2-4k+5\)

第 \(m\) 群の和を \(T_{m}\) とおく．

第 \(m\) 群には \(c_{m}\) 個の \(m\) が並んでいるので

\(T_{m}=m\times c_{m}=m^3-4m^2+5m\)

よって，

\(S(k)=\displaystyle\sum_{m=1}^{k}{T_{m}}\)

\(=\displaystyle\sum_{m=1}^{k}{(m^3-4m^2+5m)}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{4}k^2(k+1)^2-4\cdot\displaystyle\frac{1}{6}k(k+1)(2k+1)+5\cdot\displaystyle\frac{1}{2}k(k+1)\)

\(=\displaystyle\frac{1}{12}k(k+1)\left\{3k(k+1)-8(2k+1)+30\right\}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{12}k(k+1)(3k^2-13k+22)\)

\(S(10)=\displaystyle\frac{1}{12}\times 10\times 11\times 192=1760<2500\)

\(S(11)=\displaystyle\frac{1}{12}\times 11\times 12\times 242=2662>2500\)

より，数列 \(\left\{a_{k}\right\}\) の初項から第 \(n\) 項までの和が \(2500\) を超えるのは，第 \(11\) 群である．

ここで，第 \(11\) 群の第 \(x\) 項までの和が \(2500\) を超えるような \(x\) の範囲を考える．

\(S(10)+11x>2500\) \(\iff\) \(1760+11x>2500\)

\(\iff\) \(x>67.27\cdots\)

よって，第 \(11\) 群の第 \(68\) 項までの和は初めて \(2500\) を超える．

したがって求める \(n\) の値は

\(n=68+\displaystyle\sum_{k=1}^{10}{c_{k}}\)

\(=68+\displaystyle\sum_{k=1}^{10}{(k^2-4k+5)}\)

\(=283\)