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【2020愛知医科大学・医学部】AB型の割合10%.99%以上の確率で少なくとも1名AB型を含むには何名以上必要か?

数学(大学入試問題)

【2020愛知医科大学・医学部】

ある集団において血液型が \(AB\) 型である人の割合を \(10\) %とする.ある研究のためにこの集団から集める被験者の中に,\(99\) %以上の確率で \(AB\) 型の人を少なくとも \(1\) 名含むようにするためには,少なくとも何名以上を集める必要があるか.\(\log_{10}{3}=0.4771\) として求めよ.

場合の数・確率の基本的な解法は2つ!

場合の数・確率の問題の解法2つ

👉 正攻法  余事象 

正攻法(そのまま)で考えてみる方法。しかし本問においては・・・。.

よって2つ目の解法である「余事象」で考える

少なくとも \(1\) 名含む』ということであるから、余事象が有効な問題である!

※様々な問題集などに、

「少なくとも」があったら余事象を使うなど書いてあるが、これだけでは余事象を使いこなせない。

基本的に余事象を使うタイミングは、正攻法では処理できない(大変な)ときに余事象を考えるように!

解答

\(n\) を自然数として被験者が \(n\) 名のとき、\(AB\) 型の人を少なくとも \(1\) 名含む確率は、

余事象を考えると \(1-\left(\displaystyle\frac{9}{10}\right)^n\)

次にこの確率が \(99\) %以上になるとき

\(1-\left(\displaystyle\frac{9}{10}\right)^n≧0.99\)

\(\iff\) \(\left(\displaystyle\frac{9}{10}\right)^n≦0.01=\displaystyle\frac{1}{10^2}\)

常用対数をとると、

\(\log_{10}{\left(\displaystyle\frac{9}{10}\right)^n}≦\log_{10}{\displaystyle\frac{1}{10^2}}\)

\(\iff\) \(n(\log_{10}{9}-\log_{10}{10})≦-2\)

\(\iff\) \(n(2\log_{10}{3}-1)≦-2\)

\(\iff\) \(n(2\times 0.4771-1)≦-2\)

\(\iff\) \(n≧\displaystyle\frac{2}{0.046}=43.4\cdots\)

以上より、\(99\) %以上の確率で \(AB\) 型の人を少なくとも \(1\) 名含むようにするためには,

少なくとも \(44\) 名以上

 

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