【2021浜松医科大学・医学部・第３問】
階段を一度に \(1\) 段登る．または \(1\) 段飛ばして登る登り方をするとき，\(n\) 段目までの登り方の総数を \(a_{n}\) とする．例えば，\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=2\)，\(a_{3}=3\) である．以下の問いに答えよ．
(１) \(n\) を \(3\) 以上の整数とする．\(n-1\) 段目を踏む \(n\) 段目までの登り方の総数を \(b_{n}\)，\(n-1\) 段目を踏まない \(n\) 段目までの登り方の総数を \(c_{n}\) とする．\(b_{n}\)，\(c_{n}\) を \(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(\cdots\)，\(a_{n-1}\) を用いて表せ．
(２) 極限値 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\) が存在することを認めて，この極限値を求めよ．
(３) \(n\) を \(2\) 以上の整数とするとき，等式
\(a_{2n}=a_{n}^2+a_{n-1}^2\)
が成立することを示せ．
解答・解説
(１)
\(n-1\) 段目までの登り方の総数は \(a_{n-1}\) 通りであり，そこから \(n\) 段目までの登り方は \(1\) 通りなので，\(b_{n}=a_{n-1}\)
また，\(n-2\) 段目までの登り方の総数は \(a_{n-2}\) 通りであり，そこから \(n-1\) 段目を踏まずに \(n\) 段目までの登り方は，\(1\) 段飛ばしでの \(1\) 通りより，\(c_{n}=a_{n-2}\)
したがって，\(b_{n}=a_{n-1}\)，\(c_{n}=a_{n-2}\)
(２)
\(n≧3\) のとき \(n\) 段目までの登り方の総数は \(a_{n}\) 通りより
\(a_{n}=b_{n}+c_{n}\)
(１)より
\(a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}\)
ゆえに，\(a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}\)
\(a_{n}>0\) より両辺を \(a_{n}\) で割ると
\(\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=1+\displaystyle\frac{a_{n-1}}{a_{n}}\)
ここで，\(t=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\) とおく( \(t>0\) )
\(\displaystyle\frac{1}{t}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{a_{n-1}}{a_{n}} \)
よって，\(t=1+\displaystyle\frac{1}{t}\)
\(\iff\) \(t^2-t-1=0\)
\(t>0\) より \(t=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
したがって，\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
(３)
\(n≧2\) のとき \(2n\) 段目までの登り方で \(n\) 段目を踏むかどうかで場合分けして考える．
・\(n\) 段目を踏むとき
\(n\) 段目までの登り方は \(a_{n}\) 通りあり，\(n\) 段目から \(2n\) 段目までの登り方も \(a_{n}\) 通り
ゆえに \(n\) 段目を踏むときの登り方は \(a_{n}^2\) 通り
・\(n\) 段目を踏まないとき
\(n-1\) 段目を踏み，\(1\) 段飛ばしで \(n+1\) 段目に行き，\(n+1\) 段目から \(2n\) 段目までの登り方を考えれば良い．
\(n-1\) 段目までの登り方は \(a_{n-1}\) 通り，\(n+1\) 段目から \(2n\) 段目までの登り方も \(a_{n-1}\) 通り
ゆえに \(n\) 段目を踏まないときの登り方は \(a_{n-1}^2\) 通り
したがって，\(a_{2n}=a_{n}^2+a_{n-1}^2\) が成立
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