【2022神戸大学】双曲線と直線の交点の中点について

解答・解説

(１)　\(a\) のとりうる値の範囲

双曲線 \(\displaystyle\frac{x^2}{4}-\displaystyle\frac{y^2}{4}=1\) と直線 \(y=\sqrt{a}x+\sqrt{a}\) が異なる \(2\) 点で交わるので

\(\displaystyle\frac{x^2}{4}-\displaystyle\frac{\left(\sqrt{a}x+\sqrt{a}\right)^2}{4}=1\)

\(\iff\) \((1-a)x^2-2ax-a-4=0\) ・・・①

①が異なる \(2\) 実解を持てばよい．

よって \(a\not=1\) であり，このときに①の判別式を \(D\) とすると

\(\displaystyle\frac{D}{4}=(-a)^2+(1-a)(a+4)=-3a+4>0\)

したがって，\(a<\displaystyle\frac{4}{3}\)

\(a>0\)，\(a\not=1\) より求める値の範囲は，

\(0<a<1\)，\(1<a<\displaystyle\frac{4}{3}\)

(２)　\(s\)，\(t\) の値を \(a\) を用いて表せ．

①の異なる \(2\) つの実数解を \(\alpha\)，\(\beta\) とすると，これらは点 \(P\)，\(Q\) の \(x\) 座標となる．

解と係数の関係より

\(\alpha+\beta=\displaystyle\frac{2a}{1-a}\)

が成り立つので，線分 \(PQ\) の中点 \(R\) の \(x\) 座標は

\(s=\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}=\displaystyle\frac{a}{1-a}\)

また，直線 \(y=\sqrt{a}x+\sqrt{a}\) 上に点 \(R(s,t)\) はあるので，

\(t=\sqrt{a}s+\sqrt{a}=\sqrt{a}\cdot\displaystyle\frac{a}{1-a}+\sqrt{a}=\displaystyle\frac{\sqrt{a}}{1-a}\)

したがって，\(s=\displaystyle\frac{a}{1-a}\)，\(t=\displaystyle\frac{\sqrt{a}}{1-a}\)

(３)　(１)のとき， \(s\) のとりうる値の範囲

\(s=\displaystyle\frac{a}{1-a}=-1-\displaystyle\frac{1}{a-1}\) より

\(0<a<1\)，\(1<a<\displaystyle\frac{4}{3}\) の範囲で

\(s=-1-\displaystyle\frac{1}{a-1}\) のグラフは右図のようになるので，

したがって，\(s\) のとりうる値の範囲は，\(s<-4\)，\(0<s\)

(４)　\(t\) の値を \(s\) を用いて表せ．

\(s=\displaystyle\frac{a}{1-a}\) より

\(s-sa=a\)

\(a(1+s)=s\)

(３)より \(s\not=-1\) より

よって，\(a=\displaystyle\frac{s}{1+s}\)

(２)より \(t=\displaystyle\frac{\sqrt{a}}{1-a}\) に代入すると

\(t=\displaystyle\frac{\sqrt{\displaystyle\frac{s}{1+s}}}{1-\displaystyle\frac{s}{1+s}}\)

\(t=(1+s)\sqrt{\displaystyle\frac{s}{1+s}}\)