【2023数学ⅡB(第1日程)】第２問[1](微分法)

[１](１)問題と解答・解説《ア〜ク》

\(k\) を正の定数とし，\(f(x)=x^2(k-x)\)

\(y=f(x)\) と \(x\) 軸との共有点の座標は，

\(f(x)=0\) \(\iff\) \(x^2(k-x)=0\)

より \(x=0,k\)

よって，\((0,0)\)，\((k,0)\) ・・・《ア：④》

また，\(f(x)=-x^3+kx^2\) より

\(f^{\prime}(x)=-3x^2+2kx\) ・・・《イ〜エ》

\(f^{\prime}(x)=-x(3x-2k)\)

\(f^{\prime}(x)=0\) のとき \(x=0,\displaystyle\frac{2k}{3}\)

\(k>0\) より増減表は

\(x=0\) のとき，\(f(x)\) は極小値 \(0\) ・・・《オ：⓪，カ：⓪》

\(x=\displaystyle\frac{2k}{3}\) のとき，\(f(x)\) は極大値 \(\displaystyle\frac{4k^3}{27}\) ・・・《キ：③，ク：⑨》

円柱の底面の半径を \(x\)，高さを \(h\) とおく

右図の青と赤の相似な直角三角形に注目すると

\(9-x:h=9:15\) \(\iff\) \(h=\displaystyle\frac{5}{3}(9-x)\)

よって円柱の体積 \(V\) は

\(V=x^2\pi\cdot h=\displaystyle\frac{5}{3}\pi x^2(9-x)\) ・・・《ケ〜サ》

(１)において，\(k=9\) として考えると

\(V=\displaystyle\frac{5}{3}\pi f(x)\) より

\(0<x<9\) のとき

\(x=\displaystyle\frac{2k}{3}=6\) のとき・・・《シ》

\(V\) は最大値 \(180\pi\) ・・・《ス〜ソ》