【2023同志社大学】一次不定方程式14x+3y=mについて

共通テストでも頻出の１次不定方程式！

誘導なしでも求められるようになっておきたい問題ですね！

典型的な解法に合わせ，格子点を時間短縮できる解法もあります。興味ある方は

【頻出】１次不定方程式 (ax+by=c)の解法２つ(模範解答と時短裏技) を参考に！

解答・解説

\(m=1\) のとき

\(14x+3y=1\) ・・・①

\(x=-1\) のとき，\(-14+3y=1\)

よって \(y=5\) ・・・《カ》

\((x,y)=(-1,5)\) は①の解の \(1\) つより

\(14\times (-1)+3\times 5=1\) ・・・②

①ー②より

\(14(x+1)+3(y-5)=0\)

\(14(x+1)=-3(y-5)\)

\(14\) と \(3\) は互いに素なので

整数 \(k\) を用いて

\(x+1=3k\)，\(14k=-(y-5)\)

よって

\(x=3k-1\)，\(y=-14k+5\) ・・・《キ》

次に \(m=148\) のとき

\(14x+3y=148\) ・・・③

②\(\times 148\) より

\(14\times (-148)+3\times 740=148\) ・・・④

③ー④より

\(14(x+148)+3(y-740)=0\)

\(14(x+148)=-3(y-740)\)

\(14\) と \(3\) は互いに素なので

整数 \(l\) を用いて

\(x+148=3l\)，\(14k=-(y-740)\)

よって

\(x=3k-148\)，\(y=-14k+740\)

\(x\) , \(y\) は正の整数より

\(x=3k-148>0\)，\(y=-14k+740>0\)

\(\displaystyle\frac{148}{3}<l<\displaystyle\frac{370}{7}\)

よって，\(l=50,51,52\)

このとき，

\(x+y=-11l+592\)

が最大となるのは \(l=50\)

したがって，

\(x=2\) ，\(y=40\) のとき \(x+y\) の最大値は \(42\) ・・・《クケコ》