【2023京都大学・理系・第１問】
次の各問に答えよ．
問１ 定積分 \(\displaystyle\int^{4}_{1}\sqrt{x}\log{(x^2)} dx\) の値を求めよ．
問２ 整式 \(x^{2023}-1\) を整式 \(x^4+x^3+x^2+x+1\) で割ったときの余りを求めよ．
解答・解説
問１ \(\displaystyle\int^{4}_{1}\sqrt{x}\log{(x^2)} dx\) の値
\(\displaystyle\int^{4}_{1}\sqrt{x}\log{(x^2)} dx=2\displaystyle\int^{4}_{1}\sqrt{x}\log{x} dx\)
部分積分
\(\displaystyle\int f(x)g^{\prime}(x)\enspace dx=f(x)g(x)-\displaystyle\int f^{\prime}(x)g(x)\enspace dx\)
\(=2\displaystyle\int^{4}_{1}\left(\displaystyle\frac{2}{3}x^{
\frac{3}{2}}\right)^{\prime}\log{x}dx\)
\(=2\Bigl[\displaystyle\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\log{x}\Bigr]^{4}_{1}-2\displaystyle\int^{4}_{1}\displaystyle\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\cdot\displaystyle\frac{1}{x} dx\)
\(=2\cdot\displaystyle\frac{2}{3}\cdot 8\cdot \log{4}-\displaystyle\frac{4}{3}\displaystyle\int^{4}_{1}x^{\frac{1}{2}} dx\)
\(=\displaystyle\frac{64}{3}\log{2}-\displaystyle\frac{4}{3}\Bigl[\displaystyle\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\Bigr]^{4}_{1}\)
\(=\displaystyle\frac{64}{3}\log{2}-\displaystyle\frac{56}{9}\)
問２ \(x^{2023}-1\) を \(x^4+x^3+x^2+x+1\) で割ったときの余り
\(n\) 乗の差の因数分解
\(a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+……+ab^{n-2}+b^{n-1})\)
\(x^{2023}-1=(x-1)(x^{2022}+x^{2021}+\cdots+x+1)\)
ここで，
\(x^{2022}+x^{2021}+\cdots+x+1\)
\(=x^{2018}(x^4+x^3+x^2+x+1)\)
\(+x^{2013}(x^4+x^3+x^2+x+1)\)
\(+\cdots\)
\(+x^{3}(x^4+x^3+x^2+x+1)\)
\(+x^2+x+1\) より
\(x^{2022}+x^{2021}+\cdots+x+1\\=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^{2018}+x^{2013}+\cdots+x^3)+x^2+x+1\)
両辺に \(x-1\) をかけると
\(x^{2023}-1\\=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^{2018}+x^{2013}+\cdots+x^3)+(x-1)(x^2+x+1)\)
よって，\(x^{2023}-1\) を \(x^4+x^3+x^2+x+1\) で割った余りは \((x-1)(x^2+x+1)=x^3-1\)
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