【2023東北大学・文理・第１問】
赤玉 \(4\) 個と白玉 \(5\) 個の入った，中の見えない袋がある．玉はすべて，色が区別できる他には違いはないものとする．\(A\)，\(B\) の \(2\) 人が，\(A\) から交互に，袋から玉を \(1\) 個ずつ取り出すゲームを行う．ただし取り出した玉は袋の中に戻さない．\(A\) が赤玉を取り出したら \(A\) の勝ちとし，その時点でゲームを終了する．\(B\) が白玉を取り出したら \(B\) の勝ちとし，その時点でゲームを終了する．袋から玉がなくなったら引き分けとし，ゲームを終了する．
(１) このゲームが引き分けとなる確率を求めよ．
(２) このゲームに \(A\) が勝つ確率を求めよ．
解答・解説
(１) このゲームが引き分けとなる確率を求めよ．
赤玉 \(4\) 個と白玉 \(5\) 個を一列に並べる順列の総数は
\(_{9}C_{4}=\displaystyle\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=126\) 通り
この中でゲームが引き分けとなるのは
| \(A\) | \(B\) | \(A\) | \(B\) | \(A\) | \(B\) | \(A\) | \(B\) | \(A\) |
| 白 | 赤 | 白 | 赤 | 白 | 赤 | 白 | 赤 | 白 |
上のような \(1\) 通りのみ
したがって求める確率は \(\displaystyle\frac{1}{126}\)
(２) このゲームに \(A\) が勝つ確率を求めよ．
\(A\) が勝つのは以下のような場合
| \(A\) | \(B\) | \(A\) | \(B\) | \(A\) | \(B\) | \(A\) | \(B\) | \(A\) | |
| ( ⅰ ) | 赤 | ||||||||
| ( ⅱ ) | 白 | 赤 | 赤 | ||||||
| ( ⅲ ) | 白 | 赤 | 白 | 赤 | 赤 | ||||
| ( ⅳ ) | 白 | 赤 | 白 | 赤 | 白 | 赤 | 赤 | (白) | (白) |
( ⅰ ) のとき
\(_{8}C_{3}=56\) 通り
( ⅱ ) のとき
\(_{6}C_{2}=15\) 通り
( ⅲ ) のとき
\(_{4}C_{1}=4\) 通り
( ⅳ ) のとき
\(1\) 通り
( ⅰ )〜( ⅳ )より
\(56+15+4+1=76\) 通り
したがって求める確率は，\(\displaystyle\frac{76}{126}=\displaystyle\frac{38}{63}\)
【2023東北大学・理系・第２問】極限値(ガウス記号、はさみうちの原理)
三角関数の方程式(3倍角の公式利用)、ガウス記号、はさみうちの原理を利用した極限値の問題。頻出・差がつく入試問題。2023東北大学・問題・解答・解説。数学Ⅲ：極限
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2023.03.13
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