【2023東京工業大学・第１問】2/(x+e^x)の0から2023までの定積分の整数部分

考え方・解答・解説

直接積分の計算が難しいので，\(A<\displaystyle\frac{2}{x+e^x}<B\) を満たす不等式を考え，\(0≦x≦2023\) において積分して考えましょう！

\(x≧0\) のとき \(x+e^x≧e^x\) より

\(\displaystyle\frac{2}{x+e^x}≦\displaystyle\frac{2}{e^x}\)

\(\displaystyle\int^{2023}_{0}\displaystyle\frac{2}{x+e^x}dx≦\displaystyle\int^{2023}_{0}\displaystyle\frac{2}{e^x}dx\)

ここで，

\(\displaystyle\int^{2023}_{0}\displaystyle\frac{2}{e^x}dx=\Bigl[-2e^{-x}\Bigr]^{2023}_{0}=2(1-e^{-2023})<2\) より

\(\displaystyle\int^{2023}_{0}\displaystyle\frac{2}{x+e^x}dx<2\) ・・・①

\(\displaystyle\int^{2023}_{0}\displaystyle\frac{2}{x+e^x}dx>1\) を示すことができれば，与式の整数部分は \(1\) であることがわかります！

ゆえに，\(2e^x-1≧x+e^x\)

\(\displaystyle\frac{2}{x+e^x}≧\displaystyle\frac{2}{2e^x-1}\)

\(\displaystyle\int^{2023}_{0}\displaystyle\frac{2}{x+e^x}dx≧\displaystyle\int^{2023}_{0}\displaystyle\frac{2}{2e^x-1}dx\)

ここで

\(\displaystyle\int^{2023}_{0}\displaystyle\frac{2}{2e^x-1}dx=\displaystyle\int^{2023}_{0}\displaystyle\frac{2e^{-x}}{2-e^{-x}}dx\)

\(=\Bigl[2\log|2-e^{-x}|\Bigr]^{2023}_{0}\)

\(=2\log(2-e^{-2023})\)

つまり，\(2\log(2-e^{-2023})>1\) を示すことができればOKですね！

\(2<e<3\) より

\(e^{\frac{1}{2}}<3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}<1.74\)

\(e^{-2023}<e^{-2}=\displaystyle\frac{1}{e^2}<\displaystyle\frac{1}{2^2}=0.25\)

よって，\(e^{\frac{1}{2}}+e^{-2023}<1.74+0.25<2\)

\(\iff\) \(2-e^{-2023}>e^{\frac{1}{2}}\)

\(\iff\) \(\log(2-e^{-2023})>\displaystyle\frac{1}{2}\)

\(\iff\) \(2\log(2-e^{-2023})>1\)

ゆえに，\(\displaystyle\int^{2023}_{0}\displaystyle\frac{2}{x+e^x}dx>1\) ・・・②

①，②より

\(1<\displaystyle\int^{2023}_{0}\displaystyle\frac{2}{x+e^x}dx<2\)

したがって，実数 \(\displaystyle\int^{2023}_{0} \displaystyle\frac{2}{x+e^x}dx\) の整数部分は \(1\) となる．