【2023東京工業大学・第１問】2/(x+e^x)の0から2023までの定積分の整数部分

考え方・解答・解説

直接積分の計算が難しいので，$A<\displaystyle\frac{2}{x+e^x}<B$ を満たす不等式を考え，$0≦x≦2023$ において積分して考えましょう！

$x≧0$ のとき $x+e^x≧e^x$ より

$\displaystyle\frac{2}{x+e^x}≦\displaystyle\frac{2}{e^x}$

$\displaystyle\int^{2023}_{0}\displaystyle\frac{2}{x+e^x}dx≦\displaystyle\int^{2023}_{0}\displaystyle\frac{2}{e^x}dx$

ここで，

$\displaystyle\int^{2023}_{0}\displaystyle\frac{2}{e^x}dx=\Bigl[-2e^{-x}\Bigr]^{2023}_{0}=2(1-e^{-2023})<2$ より

$\displaystyle\int^{2023}_{0}\displaystyle\frac{2}{x+e^x}dx<2$ ・・・①

$\displaystyle\int^{2023}_{0}\displaystyle\frac{2}{x+e^x}dx>1$ を示すことができれば，与式の整数部分は $1$ であることがわかります！

ゆえに，$2e^x-1≧x+e^x$

$\displaystyle\frac{2}{x+e^x}≧\displaystyle\frac{2}{2e^x-1}$

$\displaystyle\int^{2023}_{0}\displaystyle\frac{2}{x+e^x}dx≧\displaystyle\int^{2023}_{0}\displaystyle\frac{2}{2e^x-1}dx$

ここで

$\displaystyle\int^{2023}_{0}\displaystyle\frac{2}{2e^x-1}dx=\displaystyle\int^{2023}_{0}\displaystyle\frac{2e^{-x}}{2-e^{-x}}dx$

$=\Bigl[2\log|2-e^{-x}|\Bigr]^{2023}_{0}$

$=2\log(2-e^{-2023})$

つまり，$2\log(2-e^{-2023})>1$ を示すことができればOKですね！

$2<e<3$ より

$e^{\frac{1}{2}}<3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}<1.74$

$e^{-2023}<e^{-2}=\displaystyle\frac{1}{e^2}<\displaystyle\frac{1}{2^2}=0.25$

よって，$e^{\frac{1}{2}}+e^{-2023}<1.74+0.25<2$

$\iff$ $2-e^{-2023}>e^{\frac{1}{2}}$

$\iff$ $\log(2-e^{-2023})>\displaystyle\frac{1}{2}$

$\iff$ $2\log(2-e^{-2023})>1$

ゆえに，$\displaystyle\int^{2023}_{0}\displaystyle\frac{2}{x+e^x}dx>1$ ・・・②

①，②より

$1<\displaystyle\int^{2023}_{0}\displaystyle\frac{2}{x+e^x}dx<2$

したがって，実数 $\displaystyle\int^{2023}_{0} \displaystyle\frac{2}{x+e^x}dx$ の整数部分は $1$ となる．