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相加平均・相乗平均の関係はいつ使う?使うタイミングの見抜き方(基本)

数学(大学入試問題)

【基本例題】

(1) \(x>0\) のとき、\(x+\displaystyle\frac{4}{x}\) の最小値を求めよ.

(2) \(t=2^x+2^{-x}\) のとき、\(t\) の範囲を求めよ.

(3) \(a>0 , b>0 , ab=9\) のとき、\(a+b\) の最小値を求めよ.

【入試問題】

(1) \(x>-2\) のとき

\(y=\displaystyle\frac{x^2+3x+3}{x+2}\) の最小値を求めよ.

(2) \(BC=5 , CA=7 , AB=6\) の\(△ABC\) の、辺 \(AB\) 上に点 \(D\) を、辺 \(AC\) 上に点 \(E\) をとり、 \(△ADE\) の面積が \(△ABC\) の面積の \(\displaystyle\frac{1}{3}\) となるようにする.\(DE\) の長さの最小値を求めよ.

はじめに

今回のテーマである「相加平均・相乗平均の関係」受験数学において頻出であり、最重要テーマの 1 つです.そして「相加平均・相乗平均の関係」に関しては、分野を問わず出題されることが多いため、ただ公式を覚えているだけでは使い物になりません

「いつ・どのタイミングで使うのか」が非常に重要になります.

考え方、使うタイミングについて下記にまとめていますので、基本的な例題を用いて、しっかりと使いこなせるように!

使い方をしっかりとマスターした上で、【入試問題】にチャレンジしましょう!

【入試問題】の考え方・解答は

相加平均・相乗平均の関係はいつ使う?使うタイミングの見抜き方(発展)



相加平均・相乗平均の関係(証明)

【相加平均・相乗平均の関係】

\(A≧0 , B≧0\) のとき

\(A+B≧2\sqrt{AB}\)

等号成立は、\(A=B\) のとき

《証明》

(左辺)-(右辺)

\(=A+B-2\sqrt{AB}\)

\((\sqrt{A}-\sqrt{B})^2≧0\)

よって(左辺)≧(右辺)

等号成立は、

\((\sqrt{A}-\sqrt{B})^2=0\)

つまり \(A=B\) のとき

 

相加平均・相乗平均を使うタイミング

次の2つの形を見たら相加平均・相乗平均の関係を疑え!

1.逆数の和の形

👉 ルートの中で約分され、文字が消える!

2.和と積の形

👉\(和≧2\sqrt{積}\)

※相加平均・相乗平均の関係は 0 以上の数でしか使用できないため、「0 以上の数になるための条件」が必ず存在する

※相加平均・相乗平均の関係を使用した場合、必ず等号成立を確認するように!

☞なぜに等号成立を言う必要があるのか?

少し難しい内容になりますが、数学的に非常に重要なお話しになります。

最大値とは?等号成立の必要性について」に簡単にまとめていますので、確認を!

 

和と積の形を見たら

和と積の形を見たら、次の3つを疑え!

  1. 対称式
  2. 解と係数の関係
  3. 相加平均・相乗平均の関係

※範囲(最大値や最小値を含む)に関する問題の時は、相加平均・相乗平均の関係を使うことが多い.

考え方・解答

(1) \(x>0\) のとき、\(x+\displaystyle\frac{4}{x}\) の最小値を求めよ.

(1)の考え方・解答

\(x+\displaystyle\frac{4}{x}\) の式を見て、「逆数の和の形」が見えて欲しい.

(※正確には \(x\) の逆数は \(\displaystyle\frac{1}{x}\) であるが、その辺はざっくりとで)

また、\(x>0\) という情報から、相加平均・相乗平均の関係を使用するのではないかと疑って欲しい.

 

\(x>0\) より相加平均・相乗平均の関係から

\(x+\displaystyle\frac{4}{x}≧2\sqrt{x\times \displaystyle\frac{4}{x}}=4\)

等号成立は、

\(x=\displaystyle\frac{4}{x}\)

\(x^2=4\)

\(x>0\) より

\(x=2\) のとき、最小値は 4

 

(2) \(t=2^x+2^{-x}\) のとき、\(t\) の範囲を求めよ.

(2)考え方・解答

\(t=2^x+2^{-x}\) より

\(t=2^x+\displaystyle\frac{1}{2^x}\)

まさに逆数の和の形!!

また、\(2^x>0\) であるから、相加平均・相乗平均の関係を使用するための条件がそろっている

 

\(2^x>0\) より相加平均・相乗平均の関係から

\(2^x+\displaystyle\frac{1}{2^x}≧2\sqrt{2^x\times \displaystyle\frac{1}{2^x}}=2\)

よって、\(t≧2\)

等号成立は、

\(2^x=\displaystyle\frac{1}{2^x}\)

\((2^x)^2=1\)

\(2^x>0\) より \(2^x=1\)

つまり \(x=0\) のとき

 

※(2)は指数関数の分野で超有名問題

極端かもしれませんが、結果を覚えておいても良いレベルで有名問題ですので、しっかりとできるように!

 

 

(3) \(a>0 , b>0 , ab=9\) のとき、\(a+b\) の最小値を求めよ.

(3)考え方・解答

\(a­≠0\)、\(ab=12\) より、\(b=\displaystyle\frac{12}{a}\) より

\(a+b=a+\displaystyle\frac{9}{a}\) と考え、

逆数の和の形であるから、(1)と同様に考えていくと言う解法でも悪くはない.

 

しかし、より発展的な問題に対応していくために、以下のように問題が見えるようになって欲しい!

 

\(ab=9\) という情報から「積の形」

\(a+b\) という形から「和の形」

☞「和と積の形」であるので、相加平均・相乗平均の関係を疑う.

※このような視点を持つことで、結果的に相加平均・相乗平均の関係を使わない問題であったとしても、「対称式」や「解と係数の関係」で処理できないかと、次の考え方に繋がる.

 

\(a>0 , b>0\) より相加平均・相乗平均の関係から

\(a+b≧2\sqrt{ab}=2\sqrt{9}=6\)

等号成立は

\(a=b\) かつ \(ab=9\) より

\(a=b=3\) のとき、最小値は 6

 

最後に

ただ解けたからOKではなく、「逆数の和の形」「和と積の形」、そして「0以上の条件」「最小値など範囲に関する問題」に注目して相加平均・相乗平均の関係が使えるようになりましょう!

それでは基本編がしっかりとできた方は、【入試問題】にチャレンジ!

【入試問題】

(1) \(x>-2\) のとき

\(y=\displaystyle\frac{x^2+3x+3}{x+2}\) の最小値を求めよ.

(2) \(BC=5 , CA=7 , AB=6\) の\(△ABC\) の、辺 \(AB\) 上に点 \(D\) を、辺 \(AC\) 上に点 \(E\) をとり、 \(△ADE\) の面積が \(△ABC\) の面積の \(\displaystyle\frac{1}{3}\) となるようにする.\(DE\) の長さの最小値を求めよ.

考え方・解答は

相加平均・相乗平均の関係はいつ使う?使うタイミングの見抜き方(発展)



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