２重根号について
「２重根号とは，ルートの中に，さらにルートが入っている式」のことを言います。
例：\(\sqrt{2+\sqrt{3}}\) のような式の形です
正直に言いますと、そんなに高い頻度で２重根号が出てくることはありません。
数学Ⅰの最初の方に学習する内容で，多くの人が次に登場した時は忘れていることが多い計算問題です。
２重根号を単独で外すと言う問題よりは、計算の最終的な答えとして式変形が必要となる形式で出題されるため、せっかく最後まで完璧な考え方で解答を作っていても、最後の最後に減点をされてしまうパターンになります。
過去に２重根号を学習済みの方は、久しぶりの復習のために確認しておきましょう！
初めて２重根号に触れる人は、全パターンを下記の例題で解説していますので、参考にしてください。
２重根号の外し方
【例題】
① \(\sqrt{5+2\sqrt{6}}\)
② \(\sqrt{4+\sqrt{12}}\)
③ \(\sqrt{11-6\sqrt{2}}\)
④ \(\sqrt{2+\sqrt{3}}\)
① \(\sqrt{5+2\sqrt{6}}\)
\(\sqrt{5+2\sqrt{6}}\) の２重根号を外すためには、
\(\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}\) の形になればよい！
つまり、
\(5+2\sqrt{6}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+b+2\sqrt{ab}\)
を満たす \(a , b\) を見つければよい！
\(a+b=5 \\ab=6\)
を満たす \(a , b\) は、
\(( a , b )=( 3 , 2 )\) または \(( 2 , 3 )\)
👆 足し算の時はどちらでも良いが、\(( a , b )=( 3 , 2 )\) で考える．
※③で詳しく説明するが、\(a>b\) としておいた方が良い！
したがって、
\(\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}\) となるため、
\(\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}\)
上の例題をふまえ、
【公式】
\(\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
この公式において大切なのは、\(\sqrt{ab}\) の前にいる “ 2 ”
この “ ２ ” を作ることを最優先事項とします！
② \(\sqrt{4+\sqrt{12}}\)
まずはルートの前に“ ２ ” を作ると、
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) より
\(\sqrt{4+\sqrt{12}}=\sqrt{4+2\sqrt{3}}\)
\(a+b=4 , ab=3\)
を満たす \(a , b\) は、
\(( a , b )=( 3 , 1 )\) または \(( 1 , 3 )\)
\(( a , b )=( 3 , 1 )\) として、
\(\sqrt{4+\sqrt{12}}=\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{1})^2}=\sqrt{3}+1\)
③ \(\sqrt{11-6\sqrt{2}}\)
\(6\sqrt{2}=2\times3\sqrt{2}=2\sqrt{18}\) より
\(\sqrt{11-6\sqrt{2}}=\sqrt {11-2\sqrt{18}}\)
\(a+b=11 , ab=18\)
を満たす \(a , b\) は、
\(( a , b )=( 9 , 2 )\) または \(( 2 , 9 )\)
☆ 引き算の時は \(a>b\) で考えよう！
仮に、\(( a , b )=( 2 , 9 )\) とすると、
\(\sqrt{11-6\sqrt{2}}\\=\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{9})^2}\\=|\sqrt{2}-\sqrt{9}|\\=-(\sqrt{2}-\sqrt{9})\\=\sqrt{9}-\sqrt{2}\\=3-\sqrt{2}\)
\(a<b\) とすると、絶対値の中の値が負になるため、絶対値を外す際にマイナスを付ける作業が必要になる。
それであれば最初から \(a>b\) としておけば、絶対値の中は必ず正になるため、絶対値はそのまま外すことが出来る。
\(( a , b )=( 9 , 2 )\) として、
\(\sqrt{11-6\sqrt{2}}=\sqrt{11-2\sqrt{18}}=\sqrt{(\sqrt{9}-\sqrt{2})^2}=3-\sqrt{2}\)
④ \(\sqrt{2+\sqrt{3}}\)
とにかくルートの前に “ 2 ” を作ることが大切だが、②や③のように簡単に ” 2 ” を作り出せない・・・
そこで、
\(\sqrt{2+\sqrt{3}}=\displaystyle\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}\)
(分子) \(=\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}=\sqrt{3}+1\) より
\(\sqrt{2+\sqrt{3}}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\)
分母の有利化を行うと
\(\sqrt{2+\sqrt{3}}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\)
最後に
いかがだったでしょうか？
過去に取り組んだことがある人は、しっかりと思い出せましたか？
特に④のような問題は、「“ ２ ” を作るために分数にする」という発想は知らないとなかなかできるものではありません。計算として処理の仕方が決まっているものになりますので、完全パターンとして身に付けてください！
数学が苦手な人向けの参考書
とても丁寧に１つ１つ説明されているので、基礎を学ぶのにお勧めです！
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