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【2023共通テスト(第1日程)】数学ⅠA:第1問[2]図形と計量|円、球に内接する図形

共通テスト(センター試験)

【2021数学ⅠA(第2日程)】第1問[2](図形と計量)

(1)問題と解答・解説《サ〜ソ》

(1)解答・解説《サ〜ソ》

 ( ⅰ ) 点 O を中心とする円の半径を R とおく( R=5 )

正弦定理より

2R=\displaystyle\frac{AB}{\sin\angle ACB}

2\times 5=\displaystyle\frac{6}{\sin\angle ACB}

よって,\sin\angle ACB=\displaystyle\frac{3}{5} ・・・《サ:⓪》

\angle ACB が鈍角のとき,\angle ACB<0 より

\cos \angle ACB=-\sqrt{1-\sin^2\angle ACB}=-\sqrt{1-\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^2}

したがって,\cos \angle ACB=-\displaystyle\frac{4}{5} ・・・《シ:⑦》

\sin\angle ACB=\displaystyle\frac{3}{5} より

右図のような有名直角三角形がイメージできるようになると,いろいろと便利!

( ⅱ ) \triangle ABC の面積が最大となるのは,

AB (底辺) が一定なので,CD (高さ) が最大となるときである.

つまり,右図のように点 O が線分 CD 上にあればよい.

このとき,\tan \angle OAD=\displaystyle\frac{OD}{AD} であり

AD=\displaystyle\frac{1}{2}AB=3OA=R=5 より

三平方の定理から OD=4

よって,\tan \angle OAD=\displaystyle\frac{4}{3} ・・・《ス:④》

また,\triangle ABC の面積を S とすると

S=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CD であり

AB=6CD=OC+OD=5+4=9 より

S=\displaystyle\frac{1}{2}\times 6\times 9=27 ・・・《セソ》 

(2)問題と解答・解説《タ〜ハ》

(2)解答・解説《タ〜ハ》

\triangle PQR で余弦定理より

\cos \angle QPR=\displaystyle\frac{8^2+9^2-5^2}{2\cdot 8\cdot 9}=\displaystyle\frac{5}{6} ・・・《タチ》 

\sin \angle QPR=\sqrt{1-\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)}=\displaystyle\frac{\sqrt{11}}{6} より

\triangle PQR=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 9\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{11}}{6}=6\sqrt{11} ・・・《ツテト》 

ヘロンの公式を利用してもOKですね!

ヘロンの公式

三辺の長さが abc の三角形の面積を S とすると

S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

ただし,s=\displaystyle\frac{1}{2}(a+b+c)

球の中心を S とおく.

線分 TH は,球 S の中心を通る.

このとき,SP=SQ=SR=(半径),SH は共通,SH\perp \triangle PQR より

\triangle SPH≡\triangle SQH≡\triangle SRH となる.

したがって,PH=QH=RH ・・・《ナ:⑥》

PH=QH=RH より,点 H\triangle PQR の外心となる.

よって,\triangle PQR で正弦定理より

2PH=\displaystyle\frac{QR}{\sin\angle QPR}=\displaystyle\frac{5}{\displaystyle\frac{\sqrt{11}}{6}}

よって,PH=\displaystyle\frac{15}{\sqrt{11}}

\triangle SPH で三平方の定理から,SH=\displaystyle\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{11}}

以上より,求める体積は

\displaystyle\frac{1}{3}\times \triangle PQR\times (SH+ST)=\displaystyle\frac{1}{3}\times 6\sqrt{11}\times \left(\displaystyle\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{11}}+5\right)

= 10(\sqrt{11}+\sqrt{2}) ・・・《ニ〜ハ》

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