x→∞のときlogx/xの極限についての証明

【頻出・有名｜極限の問題】

(１)　\(x>1\) のとき，\(\log x<\sqrt{x}\) が成り立つことを示せ．

(２)　\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{\log{x}}{x}\) を求めよ．

解答・解説

\(f(x)=\sqrt{x}-\log x\) とおく．

\(f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}-\displaystyle\frac{1}{x}=\displaystyle\frac{\sqrt{x}-2}{2x}\)

\(f^{\prime}(x)=0\) のとき，\(x=4\)

\(f(4)=\sqrt{4}-\log 4=2(1-\log 2)\)

\(e>2\) より，\(\log e=1>\log 2\) であるから，\(f(x)>0\)

したがって，\(x>1\) のとき \(\log x<\sqrt{x}\)

\(x>1\) のとき，\(\log x>0\) であり，また(１)の結果から

\(0<\log x<\sqrt{x}\)

各辺を \(x\) ( \(>0\) ) で割ると

\(0<\displaystyle\frac{\log x}{x}<\displaystyle\frac{\sqrt{x}}{x}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}\)

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}=0\) より

はさみうちの原理から

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{\log{x}}{x}=0\)

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{\log{x}}{x}=0\)

については結果だけでなく，

\(x>1\) のとき \(0<\log x<\sqrt{x}\)

の不等式評価から証明(はさみうちの原理の利用)できるように覚えておきましょう！