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【2006神戸大学・文】角の二等分線のベクトル|差がつく良問

数学(大学入試問題)

【2006神戸大学・文】

平面上に原点 \(O\) から出る,相異なる \(2\) 本の半直線 \(OX\) ,  \(OY\) をとり,\(\angle XOY<180°\) とする.半直線 \(OX\) 上に \(O\) と異なる点 \(A\) を,半直線 \(OY\) 上に \(O\) と異なる点 \(B\) をとり,\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}\) , \(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}\) とおく.次の問に答えよ.

(1) 点 \(C\) が \(\angle XOY\) の二等分線上にあるとき,ベクトル \(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{OC}\) はある実数 \(t\) を用いて

\(\overrightarrow{c}=t\left(\displaystyle\frac{\overrightarrow{a}}{\left|\overrightarrow{a}\right|}+\displaystyle\frac{\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{b}\right|}\right)\)

と表されることを示せ.

(2) \(\angle XOY\) の二等分線と \(\angle XAB\) の二等分線の交点を \(P\) とおく.

\(OA=2\) , \(OB=3\) , \(AB=4\) のとき,\(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{OP}\) を \(\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{b}\) を用いて表せ.

角の二等分線のベクトル

一直線上にない \(3\) 点 \(O\) , \(A\) , \(B\) に対して,\(\angle AOB\) の二等分線上の点を \(P\) とするとき,実数 \(t\) を用いて

\(\overrightarrow{OP}=t\left(\displaystyle\frac{\overrightarrow{OA}}{\left|\overrightarrow{OA}\right|}+\displaystyle\frac{\overrightarrow{OB}}{\left|\overrightarrow{OB}\right|}\right)\)

※ とても有名な形です。結果は覚えておきましょう!

(1)の問題がなぜこの形になるかの証明問題になっています。ちなみにこれは数学B,4STEPの87番に発展問題としても記載されています。

単位ベクトルについて

大きさが \(1\) であるベクトルのことを単位ベクトルという.

ある \(\overrightarrow{a}\) (ただし \(\overrightarrow{0} \)ではない ) の単位ベクトルは,\(\displaystyle\frac{\overrightarrow{a}}{ \left|\overrightarrow{a}\right|} \) と表せる.

解答

(1)

\(\overrightarrow{OD}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{OA}}{\left|\overrightarrow{OA}\right|}\) , \(\overrightarrow{OE}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{OB}}{\left|\overrightarrow{OB}\right|}\) とおくと,\(\left|\overrightarrow{OD}\right|=\left|\overrightarrow{OE}\right|=1\) であるから,\(\triangle ODE\) は二等辺三角形である.

線分 \(DE\) の中点を \(M\) とすると,

\(\overrightarrow{OM}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{\overrightarrow{OA}}{\left|\overrightarrow{OA}\right|}+\displaystyle\frac{\overrightarrow{OB}}{\left|\overrightarrow{OB}\right|}\right)\)

また,\(\triangle ODE\) は二等辺三角形であるから,直線 \(OM\) は \(\triangle AOB\) の二等分線である.

ゆえに点 \(C\) は直線 \(OM\) 上であるから,実数 \(k\) を用いて

\(\overrightarrow{OC}=k\overrightarrow{OM}=\displaystyle\frac{k}{2}\left(\displaystyle\frac{\overrightarrow{OA}}{\left|\overrightarrow{OA}\right|}+\displaystyle\frac{\overrightarrow{OB}}{\left|\overrightarrow{OB}\right|}\right)\)

したがって,\(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{OC}\) はある実数 \(t\) を用いて

\(\overrightarrow{c}=t\left(\displaystyle\frac{\overrightarrow{a}}{\left|\overrightarrow{a}\right|}+\displaystyle\frac{\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{b}\right|}\right)\) と表される.

(2)

点 \(P\) は \(\triangle XOY\) の二等分線上の点なので,(1)より

\(\overrightarrow{OP}=t\left(\displaystyle\frac{\overrightarrow{a}}{\left|\overrightarrow{a}\right|}+\displaystyle\frac{\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{b}\right|}\right)\)

と表され,\(OA=2\) , \(OB=3\) であるから,

\(\overrightarrow{OP}=\displaystyle\frac{t}{2}\overrightarrow{a}+\displaystyle\frac{t}{3}\overrightarrow{b}\) ・・・①

また,点 \(P\) は \(\triangle XAB\) の二等分線上の点なので,(1)と同様に考えると,ある実数 \(s\) を用いて

\(\overrightarrow{AP}=s\left(\displaystyle\frac{\overrightarrow{OA}}{\left|\overrightarrow{OA}\right|}+\displaystyle\frac{\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}\right)\)

と表され,\(OA=2\) , \(AB=4\) であるから

\(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{a}=s\left(\displaystyle\frac{\overrightarrow{a}}{2}+\displaystyle\frac{\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}}{4}\right)\)

よって,\(\overrightarrow{OP}=\left(1+\displaystyle\frac{s}{4}\right)\overrightarrow{a}+\displaystyle\frac{s}{4}\overrightarrow{b}\) ・・・②

\(\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{b}\) は一次独立なベクトルであるから,①,②より

\(\displaystyle\frac{t}{2}=1+\displaystyle\frac{s}{4}\) かつ \(\displaystyle\frac{t}{3}=\displaystyle\frac{s}{4}\)

よって,\(t=6\) , \(s=8\)

①(または②)より,\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{p}=3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\)

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