【例題】次の条件によって定められる数列の一般項を求めよ．
15．\(a_{1}=8\) , \(a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_{n}-9}{a_{n}-5}\)
漸化式は完全暗記もの！数学が得意不得意に関わらず，ただただパターンを覚えてなければできるようになりません！
その中でも基本として押さえてほしい１３パターンは「
」にまとめています。参考にしてください。
ここでは、基礎パターンがしっかりと身についている方に向けて、発展的な漸化式の紹介です。
パターン15．分数型(発展)重解タイプ
\(a_{n+1}=\displaystyle\frac{ra_{n}+s}{pa_{n}+q}\)
👉 \(x=\displaystyle\frac{rx+s}{px+q}\) を満たす重解 \(x\) が \(\alpha\) となるとき，
\(a_{n+1}-\alpha=\displaystyle\frac{ra_{n}+s}{pa_{n}+q}-\alpha\)
を計算し，逆数をとる(※\(a_{n}≠\alpha\)を示す必要あり)
※ 一般的には誘導形式になることが多い．
※ 異なる \(2\) つの実数解となるときは「こちら」
解答・解説
15．\(a_{1}=8\) , \(a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_{n}-9}{a_{n}-5}\)
\(a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_{n}-9}{a_{n}-5}\) の両辺から \(3\) を引くと
\(a_{n+1}-3=\displaystyle\frac{a_{n}-9}{a_{n}-5}-3=\displaystyle\frac{-2(a_{n}-3)}{a_{n}-5}\) ・・・①
ここで，\(a_{n+1}=3\) と仮定する．
①より，\(0=\displaystyle\frac{-2(a_{n}-3)}{a_{n}-5}\)
よって，\(a_{n}=3\) となり
\(a_{n+1}=a_{n}=a_{n-1}=\cdots=a_{1}=3\) となるが，
これは \(a_{1}=8\) に矛盾する．
したがって，\(a_{n}≠3\)
①において逆数をとると，
\(\displaystyle\frac{1}{a_{n+1}-3}=\displaystyle\frac{a_{n}-5}{-2(a_{n}-3)}=\displaystyle\frac{(a_{n}-3)-2}{-2(a_{n}-3)}\) より
\(\displaystyle\frac{1}{a_{n+1}-3}=\displaystyle\frac{1}{a_{n}-3}-\displaystyle\frac{1}{2}\)
\(b_{n}=\displaystyle\frac{1}{a_{n}-3}\) とおくと，
\(b_{n+1}=b_{n}-\displaystyle\frac{1}{2}\)
数列 \(\left\{ b_{n} \right\}\) は，初項が \(b_{1}=\displaystyle\frac{1}{a_{1}-3}=\displaystyle\frac{1}{5}\) , 公差が \(-\displaystyle\frac{1}{2}\) の等差数列であるから，
\(b_{n}=\displaystyle\frac{1}{5}+(n-1)\cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)=\displaystyle\frac{-5n+7}{10}\)
したがって，\(\displaystyle\frac{1}{a_{n}-3}=\displaystyle\frac{-5n+7}{10}\)
逆数をとって，
\(a_{n}-3=\displaystyle\frac{10}{-5n+7}\)
\(a_{n}=\displaystyle\frac{15n-31}{5n-7}\)
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