【大阪大・同志社大】
どのような負でない \(2\) つの整数 \(m\) と \(n\) を用いても
$$x=3m+5n$$
とは表すことができない正の整数 \(x\) をすべて求めよ．
考え方（ポイント）
まず整数問題すべてに共通して言えるPointは
- 積の形に変形
- 条件から範囲を絞る
- 倍数や余りに注目
整数問題の多くが、上の１〜３のいずれかで処理できます。
さらに上のポイントに加えて、方針が立たない時は次のポイントを考えましょう。
整数問題の極意 👉 実験する
※規則性や法則を見つけたい
※規則や法則を見つけ、証明を必ず与えるように！
ただ実験して規則や法則を見つけただけでは、ただの予想です！
方針が見えなければ実験！
例えば、\(n=0\) とすると、\(x=3m\) となるから、
\(x\) は \(0 , 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , \cdots\) を表すことができます。
例えば、\(n=1\) とすると、\(x=3m+5\) となるから、
\(x\) は \(5 , 8 , 11 , 14 , 17 , \cdots\) を表すことができます。
例えば、\(n=2\) とすると、\(x=3m+10\) となるから、
\(x\) は \(10 , 13 , 16 , 19 , \cdots\) を表すことができます。
ここまで表すことができた数をまとめる(小さい順から並び替える)と、
3 , 5 , 6 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19 , ・・・
\(8\) 以降はずっと表すことが出来そう？？
つまり答え(表すことができない正の整数)は、「 \(1 , 2 , 4 , 7\) 」であることは検討がつく！
ここまで実験をした上で、改めて整数問題のPOINTに立ち返ります。
- 積の形に変形
- 条件から範囲を絞る
- 倍数や余りに注目
本問において、解答をつくる(記述する)上で、どれが有効であるか分かりますか？
今回は、「余り」に注目して解答を作ってみます。
解答
\(x=3m+5n\) ( \(m , n\) は \(0\) 以上の整数 ) において
(Ⅰ) \(n=0\) のとき
\(x=3m\) となるので、\(0\) 以上の数の中で、\(3\) で割ると 余りが \(0\) の数を表すことができる。
(Ⅱ) \(n=1\) のとき
\(x=3m+5=3(m+1)+2\) となるので、\(5\) 以上の数の中で、\(3\) で割ると 余りが \(2\) の数を表すことができる。
(Ⅲ) \(n=2\) のとき
\(x=3m＋10＝3(m+3)+1\) となるので、\(10\) 以上の数の中で、\(3\) で割ると 余りが \(1\) の数を表すことができる。
(Ⅳ) \(n≧3\) のとき
\(x＝3m+5n≧3x+15≧15\) となり \(15\) より小さい数は表すことができない。
(Ⅰ)～(Ⅳ)より
求める数は、\(1 , 2 , 4 , 7\)
参考別解
考え方(実験)
上では、\(n\) に具体的な値を入れて実験してみましたが、\(x\) に具体的に値を代入して考えてみます。
例えば、
・\(x=1\) をみたす \(0\) 以上の整数 \(m , n\) はあるか？
→ ない！
・\(x=2\) をみたす \(0\) 以上の整数 \(m , n\) はあるか？
→ ない！
・\(x=3\) をみたす \(0\) 以上の整数 \(m , n\) はあるか？
→ \(( m , n )=( 1 , 0 )\) のとき！
・・・
あとはこれをひたすら繰り返していく。
ただ当然、これをエンドレスにやっていくのは大変ですから、
・\(x=a\) をみたす \(0\) 以上の整数 \(m , n\) はあるか？
→ \(3m+5n=a\) ( 1次不定方程式を解けばよい！！)
別解として、このような解答を作ってみます。
※１次不定方程式の解法が不安な人はこちらを参考に！
別解(途中まで)
正の整数 \(a\) に対して、
方程式 \(3m+5n=a\) ・・・①
の整数解の \(1\) つは \(( m , n )=( 2a , -a )\) であるから、
\(x=3(2a)+5(-a)\) ・・・②
①－②より
\(3(m-2a)+5(x+a)=0\)
よって、\(3(m-2a)=-5(x+a)\)
\(3\) と \(5\) は互いに素であるから、整数 \(k\) を用いて、
\(m-2a=5k\)
よって、\(m=5k+2a\)、\(n=-3k-a\)
ここで、\(m≧0\)、\(n≧0\) より、
\(m=5k+2a≧0\)、\(n=-3k-a≧0\)
\(a\) は正の整数であるから、
\(-\displaystyle\frac{2a}{5}≦k≦-\displaystyle\frac{a}{3}\) ・・・③
ここで、③を満たす整数 \(k\) が少なくとも \(1\) つ存在するとき、
\((-\displaystyle\frac{a}{3})-(-\displaystyle\frac{2a}{5})≧1\)
よって、\(a≧15\)
したがって、\(a≧15\) のとき、③を満たす \(k\) が少なくとも \(1\) つ存在するので、条件を満たす \(m , n\) が少なくとも \(1\) つ存在する．
したがって、\(a<15\) のときについて、条件を満たす \(m , n\) が存在するどうかを調べれば良い．
あとは \(1\) つ \(1\) つの値を調べていけば答えが求まります！
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