2001京都大学・文・第３問｜n^9-n^3は9で割り切れることを示せ

【剰余類】$n$ を○で割った余りで場合分け

倍数証明において最も頻出解法の１つに、『ある数で割った余りに注目して $n$ を場合分け』を行う剰余類と呼ばれる考え方があります。

本問において単純な発想としては、 『$9$ で割り切れることを示せ』という問いですから、$n$ を $9$ で割った余りに注目し、$9$ つの場合分け( $n=9k,9k+1,\cdots,9k+8$ )をして考えるということです。

ただ流石に $9$ つの場合分けは大変ですから、最初に式変形をして工夫を行いましょう！

解答①

$n^9-n^3=n^3(n^3-1)(n^3+1)$ ・・・①

整数 $k$ を用いて

（ア）$n=3k$ のとき

$n^3=(3k)^3=9(3k^3)$

であるから、①は $9$ の倍数．

（イ）$n=3k+$ のとき

$n^3-1=(3k+1)^3=27k^3+27k^2+9k=9(3k^3+3k^2+k)$

であるから、①は $9$ の倍数．

（ウ）$n=3k-$ のとき

$n^3+1=(3k-1)^3=27k^3-27k^2+9k=9(3k^3-3k^2+k)$

であるから、①は $9$ の倍数．

（ア）〜（ウ）より、任意の整数 $n$ に対し、 $n^9-n^3$ は $9$ で割り切れる

参考別解：合同式の利用

$n^9-n^3=n^3(n^3-1)(n^3+1)$ ・・・①

以下では、$mod9$ として考える．

（ア）$n≡0$ のとき、$n^3≡0$

（イ）$n≡\pm1$ のとき、$n^3-1≡0$

（ウ）$n≡\pm2$ のとき、$n^3+1≡9≡0$

（エ）$n≡\pm3$ のとき、$n^3≡27≡0$

（オ）$n≡\pm4$ のとき、$n^3-1≡63≡0$

①と（ア）〜（オ）より、任意の整数 $n$ に対し、 $n^9-n^3$ は $9$ で割り切れる

解答②：連続する整数の積を利用

$x^3-y^3=(x-y)^3+3xy(x-y)$ より、$x=n^3$、$y=n$ とすると

$n^9-n^3=(n^3-n)^3+3n^4(n^3-n)$ ・・・②

ここで

$n^3-n=(n-1)n(n+1)$ となり、連続する $3$ 整数の積であるから、$3$ の倍数となる．

よって、$(n^3-n)^3$、$3n^4(n^3-n)$ はともに $9$ の倍数となるため、②より任意の整数 $n$ に対し、 $n^9-n^3$ は $9$ で割り切れる．