【2019九州大学・文・第１問】
表に \(3\)、裏に \(8\) が書かれた硬貨がある．この硬貨を \(10\) 回投げるとき、出た数字 \(10\) 個の積が \(8\) 桁になる確率を求めよ．
ただし、\(\log_{10}2=0.3010\)、\(\log_{10}3=0.4771\) とする．
考え方
\(n\) 桁の数について
《例》\(714\) は \(3\) 桁の自然数
このとき、\(100≦714<1000\) であるから、\(10^2≦714<10^3\)
つまり、右側の指数が桁数と一致する！
反復試行の確率
さいころを繰り返し \(n\) 回投げる 👉 反復試行
解答
表が \(k\) 回出るとする．( \(k=0,1,2,\cdots,10\) )
このとき、出た数字の \(10\) 個の積を \(P\) とすると、
\(P=3^k\times 8^{10-k}\)
これが \(8\) 桁の整数となるとき、
\(10^7≦P<10^8\)
常用対数をとると、
\(\log_{10}10^7≦\log_{10}P<\log_{10}10^8\)
よって、\(7≦\log_{10}\left(3^k\times 8^{10-k}\right)<8\) ・・・①
ここで、\(\log_{10}\left(3^k\times 8^{10-k}\right)=k\log_{10}3+3(10-k)\log_{10}2\)
\(\log_{10}2=0.3010\)、\(\log_{10}3=0.4771\) を代入して計算すると、
\(\log_{10}\left(3^k\times 8^{10-k}\right)=9.03-0.4259k\)
①より、\(7≦9.03-0.4259k<8\)
\(\iff\) \(\displaystyle\frac{1.03}{0.4259}<k≦\displaystyle\frac{2.03}{0.4259}\) ・・・②
\(\displaystyle\frac{1.03}{0.4259}=2.41\cdots\)、\(\displaystyle\frac{2.03}{0.4259}=4.76\cdots\) であるから、②を満たす整数 \(k=3,4\)
したがって求める確率は、
\(_{10}C_{3}\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^3\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^7+_{10}C_{4}\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^4\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^6=\displaystyle\frac{165}{512}\)
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