【2021早稲田大学・商】
正の実数 \(x\)，\(y\)，\(z\) が \(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{2}{y}+\displaystyle\frac{3}{z}=1\) を満たすとき，
\((x-1)(y-2)(z-3)\) の最小値を求めよ．
相加平均・相乗平均の関係
ヒント
\(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{2}{y}+\displaystyle\frac{3}{z}=1\) ・・・①
\((x-1)(y-2)(z-3)=xyz\left(1-\displaystyle\frac{1}{x}\right)\left(1-\displaystyle\frac{2}{y}\right)\left(1-\displaystyle\frac{3}{z}\right)\) ・・・②
①より、
\(1-\displaystyle\frac{1}{x}=\displaystyle\frac{2}{y}+\displaystyle\frac{3}{z}\)
\(1-\displaystyle\frac{2}{y}=\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{3}{z}\)
\(1-\displaystyle\frac{3}{z}=\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{2}{y}\)
となり、逆数の和の形ができる！
相加平均・相乗平均の関係
\(A≧0 , B≧0\) のとき
\(A+B≧2\sqrt{AB}\)
等号成立は、\(A=B\) のとき
相加相乗を使うタイミングなどについては、以下の記事を参考にしてください！
相加平均・相乗平均の関係はいつ使う？使うタイミングの見抜き方（基本）
相加平均・相乗平均の関係はいつ使う？使うタイミングの見抜き方（発展）
相加平均・相乗平均の関係については、ただ公式を覚えているだけでは役に立ちません。
入試問題でも頻出テーマの１つですから、しっかりと使いこなせることが出来るように！
解答
\(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{2}{y}+\displaystyle\frac{3}{z}=1\) ・・・① とおく．
\((x-1)(y-2)(z-3)=xyz\left(1-\displaystyle\frac{1}{x}\right)\left(1-\displaystyle\frac{2}{y}\right)\left(1-\displaystyle\frac{3}{z}\right)\) ・・・②
①より、
\(1-\displaystyle\frac{1}{x}=\displaystyle\frac{2}{y}+\displaystyle\frac{3}{z}\)
\(y>0\)，\(z>0\) であるから相加平均・相乗平均の関係から
\(\displaystyle\frac{2}{y}+\displaystyle\frac{3}{z}≧2\sqrt{\displaystyle\frac{6}{yz}}\)
同様に考え，
\(1-\displaystyle\frac{2}{y}=\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{3}{z}\)\(≧2\sqrt{\displaystyle\frac{3}{xz}}\)
\(1-\displaystyle\frac{3}{z}=\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{2}{y}\)\(≧2\sqrt{\displaystyle\frac{2}{xy}}\)
②より，
\((x-1)(y-2)(z-3)≧xyz\cdot 2^3 \sqrt{\displaystyle\frac{6}{yz}\cdot \displaystyle\frac{3}{xz}\cdot \displaystyle\frac{2}{xy}}=48\)
等号が成立するのは，① かつ \(\displaystyle\frac{1}{x}=\displaystyle\frac{2}{y}=\displaystyle\frac{3}{z}\)
\(\iff\) \(\displaystyle\frac{1}{x}=\displaystyle\frac{2}{y}=\displaystyle\frac{3}{z}=\displaystyle\frac{1}{3}\)
\(\iff\) \(x=3\)，\(y=6\)，\(z=9\) のとき
したがって，\(x=3\)，\(y=6\)，\(z=9\) のとき最小値は \(48\)
《参考》等号成立について
上の解答において，\((x-1)(y-2)(z-3)≧48\) がわかった時点で最小値が \(48\) としてはいけないのか？
結論として，マーク形式(答えのみ)であればOKだと思います！
しかし，記述の問題においては絶対にNG！
必ず等号成立を言うようにしてください！
その理由について⏬を参考にしてください！
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