2021 京都大学（理系：第６問）3^n-2^nが素数ならばnも素数【背理法】

【問題】

\(n\) を2以上の整数とする．\(3^n-2^n\) が素数ならば \(n\) も素数であることを示せ．

整数問題のPoint
1. ☆本文に限らず、おさえておきたいこと
考え方・思考の仕方
1. 【解答】
最後に

整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

積の形に変形
条件から範囲を絞る
倍数や余りに注目

整数問題の多くが、上の１から３のいずれかで処理できます。

この３つのPointは絶対に頭の中に叩き込んでください！

☆本文に限らず、おさえておきたいこと

「素数」は積の形に弱い！

例：仮に素数 \(p\) に対して、\(p=ab\) の形に式変形をすることが出来れば、

\(a=1\) または \(b=1\) である必要がある．※逆の確認が必要！

\(n\) 乗の差の因数分解

\(a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+……+ab^{n-2}+b^{n-1})\)

※これは整数問題に限らず他分野でも使用します．

背理法を用いる典型パターン４選

①　無理数の証明

　→　有理数と仮定

②　無限に存在

　→　有限だと仮定

③　\(a=0\) の証明

　→　\(a≠0\) と仮定

④　素数

　→　１または合成数と仮定

※本問では④に該当！

より詳細は【大学受験数学で使える】背理法の典型４パターンを確認してください。

考え方・思考の仕方

\(n\) を2以上の整数とする．\(3^n-2^n\) が素数ならば \(n\) も素数であることを示せ．

《Step1》

・どんな問題であれ、証明問題は、王道の２つ(背理法、数学的帰納法)は一度検討すべき。

→背理法は使用できないか？

→ \(n\) が素数でないと仮定

→つまり \(n\) は１または合成数になると仮定

→\(n≧2\) より２以上の整数 \(p , q\) を用いて \(n = pq\) と表せる

《Step2》

・「整数のPointの１つ目」、「素数」、「\(n\) 乗の差」であることから、因数分解を利用できる？

【解答】

\(n\) が素数でないと仮定する．

\(n≧2\) より、２以上の整数 \(p , q\) を用いて \(n = pq\) と表せる．

\(3^{pq} -2^{pq}=(3^p)^q-(2^p)^q \)

\(=(3^p-2^p)\left\{(3^p)^{q-1}+(3^p)^{q-2}\cdot2^p+(3^p)^{q-3}\cdot(2^p)^2+\cdots+3^p \cdot (2^p)^{q-2}+(2^p)^{q-1}\right\}\) ・・・（☆）

《考え方・方針》

（☆）が素数でないことが言えたら条件に矛盾と言える

つまり、（☆）は積の形であるので、\(3^p-2^p\)と\(\left\{(3^p)^{q-1}+(3^p)^{q-2}\cdot2^p+(3^p)^{q-3}\cdot(2^p)^2+\cdots+3^p \cdot (2^p)^{q-2}+(2^p)^{q-1}\right\}\) がともに２以上であることが言えれば、（☆）は素数でない(合成数である)ことが言える．

\(3^p-2^p=(3-2)(3^{p-1}+3^{p-2}\cdot2+\cdots+2^{p-1})\) \(≧3^{p-1}+2^{p-1}\)

\(p≧2\) より

\(3^p-2^p≧3^{p-1}+2^{p-1}≧3+2=5\) ・・・①

また、

\(\left\{(3^p)^{q-1}+(3^p)^{q-2}\cdot2^p+(3^p)^{q-3}\cdot(2^p)^2+\cdots+3^p \cdot (2^p)^{q-2}+(2^p)^{q-1}\right\}\)

\(≧(3^p)^{q-1}+(2^p)^{q-1}≧3^2+2^2=13\) ・・・②

①、②より

\(3^n-2^n\) が素数とならず矛盾．

したがって\(n\) は素数となる．