【2022大阪医科薬科大学・看護・[4]】
解答・解説
(１) 方べきの定理
方べきの定理
円の \(2\) つの弦 \(AB\) ， \(CD\) の交点，またはそれらの延長上の交点を \(P\) とすると，
\(PA\cdot PB=PC\cdot PD\)
方べきの定理より
\(CD\times CB=CE\times CA\)
\(2\times 8=CE\times 8\sqrt{2}\)
よって，\(CE=\sqrt{2}\) ・・・( c )
(２) 接弦定理
接線と弦の作る角(接弦定理)
円 \(O\) の弦 \(AB\) と，その端点 \(A\) における
接線 \(AT\) が作る角 \(\angle BAT\) は，
その角の内部に含まれる孤 \(AB\) に対する円周角 \(\angle ACB\) に等しい．
(※右図は分かりやすいように不要な点や線分を削除した図)
接弦定理より
\(\angle EAB=\angle BEF\) ・・・( d )
(３) 余弦定理
余弦定理
\(\triangle ABC\) において
・\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)
・\(\cos A=\displaystyle\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
\(AB=BC\) であり，
\(AB：BC：AC=1：1：\sqrt{2}\) より
\(\triangle ABC\) は \(\angle B=90°\) の直角二等辺三角形となる．
よって，\(\angle EAB=45°\)
また，\(AE=AC-CE=7\sqrt{2}\)
\(\triangle ABE\) で余弦定理から
\(BE^2=8^2+(7\sqrt{2})^2-2\times 8\times 7\sqrt{2}\cos 45°=50\)
\(BE>0\) より，\(BE=5\sqrt{2}\) ・・・( c )
(４) 相似な三角形
\(\angle F\) は共通で，(２) より \(\angle EAB=\angle BEF\) であるから，
\(\triangle FBE\) と \(\triangle FEA\) は相似な三角形となる．
ここで \(FB=x\) ，\(FE=y\) とおく．
\(FB：BE=FE：EA\) かつ \(FE：BE=FA：EA\)
\(\iff\) \(x：5\sqrt{2}=y：7\sqrt{2}\) かつ \(y：5\sqrt{2}=(x+8)：7\sqrt{2}\)
\(\iff\) \(5y=7x\) かつ \(5x+40=7y\)
これを解くと，\(y=\)\(EF=\displaystyle\frac{35}{3}\) ・・・( e )
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