【2022東京医科歯科大学・医学部】f’(x)の決定、囲まれた図形の面積(部分積分)

解答・解説

(１)　$f^{\prime}(x)$

右図はあくまでもイメージ！

$f^{\prime}(x)>0$ であるから，$f(x)$ のグラフが単調増加であることはわかります！

点 $P$ における接線の方程式は，

$y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

よって，$y=f^{\prime}(a)x-af^{\prime}(a)+f(a)$ ・・・①

①と $x=1$ の交点が $Q$ より

$Q(1,f^{\prime}(a)-af^{\prime}(a)+f(a))$

条件から $PQ=1$ より $PQ^2=1$

$(1-a)^2+\left\{f^{\prime}(a)-af^{\prime}(a)\right\}^2=1$

$(1-a)^2+(1-a)^2\left\{f^{\prime}(a)\right\}^2=1$

$\left\{f^{\prime}(a)\right\}^2=\displaystyle\frac{1}{(1-a)^2}-1$

$0<a<1$ のとき $f^{\prime}(a)>0$ より

$f^{\prime}(a)=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{(1-a)^2}-1}$

したがって，$f^{\prime}(x)=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{(1-x)^2}-1}$

(２)　$\displaystyle\int^{\frac{1}{2}}_{0}(1-x)f^{\prime}(x) dx$

(１)より

$\displaystyle\int^{\frac{1}{2}}_{0}(1-x)f^{\prime}(x) dx$

$=\displaystyle\int^{\frac{1}{2}}_{0}(1-x)\sqrt{\displaystyle\frac{1}{(1-x)^2}-1}dx$

$=\displaystyle\int^{\frac{1}{2}}_{0}\sqrt{1-(1-x)^2}dx$

$=\displaystyle\int^{\frac{1}{2}}_{0}\sqrt{1-(x-1)^2}dx$

$t=x-1$ とおくと与式は，

$\displaystyle\int^{-\frac{1}{2}}_{-1}\sqrt{1-t^2} dt$

これは，中心原点，半径 $1$ の円の右図の斜線部の面積を表すので，

$\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot \displaystyle\frac{\pi}{3}-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}=\displaystyle\frac{\pi}{6}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{8}$

したがって，

$\displaystyle\int^{\frac{1}{2}}_{0}(1-x)f^{\prime}(x) dx=\displaystyle\frac{\pi}{6}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{8}$

(３)　囲まれた図形の面積

求める図形の面積を $S$ とおくと

$S=\displaystyle\int^{\frac{1}{2}}_{0} f(x)dx+\displaystyle\frac{1}{2}f\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)$

(２)の結果を上手に利用したい！と思えるかどうかがPointです！部分積分を利用し，(２)の結果が利用できるように計算していきましょう！

$S=\displaystyle\int^{\frac{1}{2}}_{0}(x-1)^{\prime} f(x)dx+\displaystyle\frac{1}{2}f\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)$

$=\Bigl[(x-1)f(x)\Bigr]^{\frac{1}{2}}_{0}-\displaystyle\int^{\frac{1}{2}}_{0}(x-1)f^{\prime}(x) dx+\displaystyle\frac{1}{2}f\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)$

$=-\displaystyle\frac{1}{2}f\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)+f(0)+\displaystyle\int^{\frac{1}{2}}_{0}(1-x)f^{\prime}(x) dx+\displaystyle\frac{1}{2}f\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)$

$f(0)=0$，(２)の結果より

$S=\displaystyle\int^{\frac{1}{2}}_{0}(1-x)f^{\prime}(x) dx=\displaystyle\frac{\pi}{6}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{8}$