【2023慶応義塾大学・看護】実験から一般項の推定、数学的帰納法を利用して証明

【2023慶応義塾大学・看護医療・(誘導なしに変更)】

次の条件によって定められる数列 $\left\{a_{n}\right\}$ がある．

$a_{1}=1$ ， $a_{n+1}=\sqrt{a^2_{n}+1}$ ( $n=1,2,3,\cdots$ )

一般項 $a_{n}$ を求めよ．

考え方・方針

漸化式は完全パターン問題です！

まずはしっかりと基本パターンをマスターしましょう！

今回はパターン13のタイプですね！

そうですね！

まずは $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $\cdots$ を求めて，一般項を推定してみましょう！

もちろん数学的帰納法を用いて証明することを忘れずに！

$n=1$ のとき

$a_{2}=\sqrt{a^2_{1}+1}=\sqrt{2}$

$n=2$ のとき

$a_{3}=\sqrt{a^2_{2}+1}=\sqrt{3}$

$n=3$ のとき

$a_{4}=\sqrt{a^2_{3}+1}=\sqrt{4}(=2)$ より

一般項 $a_{n}$ は $a_{n}=\sqrt{n}$ と推定することができる．

$a_{n}=\sqrt{n}$ ・・・①が成り立つことを数学的帰納法で示す．

( ⅰ )　 $n=1$ のとき

$a_{1}=\sqrt{1}=1$ となり成立

( ⅱ )　 $n=k$ のとき①が成立すると仮定する．

つまり $a_{k}=\sqrt{k}$ ・・・② と仮定する．

$a_{k+1}=\sqrt{a_{k}+1}$ ，②より

$a_{k+1}=\sqrt{k+1}$

よって $n=k+1$ のとき成立

( ⅰ )，( ⅱ )より①はすべての自然数 $n$ に対して成立

したがって， $a_{n}=\sqrt{n}$