【2023大阪公立大学】理系数学｜問題・解答・解説

\(A\) , \(B\) の \(2\) 人が階段の一番下の段にいる．\(2\) 人はじゃんけんをして，下記のルールに従い階段を移動するゲームを繰り返し行う．

・\(A\) は勝ったら \(1\) 段のぼり，あいこか負けた場合，同じ段にとどまる．

・\(B\) はグー，チョキで勝ったら \(1\) 段のぼり，パーで勝ったら \(3\) 段のぼる．また，あいこか，グー，チョキで負けた場合，同じ段にとどまる．パーで負けたら階段の一番下の段まで戻る(すでに一番下の段にいる場合はとどまる)．

\(A\) , \(B\) ともに，\(\displaystyle\frac{1}{3}\) ずつの確率でグー，チョキ，パーを出すものとし，すべての試行は独立とする．\(2\) 回目以降のゲームは，\(2\) 人とも直前のゲームでの移動を終えた位置で行うものとする．階段の一番下の段を \(0\) 段目とし，そこから \(m\) 段のぼった段を \(m\) 段目とする．次の問いに答えよ．

問1　\(n\) は自然数とし，\(m\) は \(0≦m≦n\) である整数とする．\(n\) 回のゲームを終えた結果，\(A\) が \(m\) 段目にいる確率 \(x_{n,m}\) を求めよ．

問2　\(m\) は \(0\) 以上の整数とする．\(2\) 回のゲームを終えた結果，\(B\) が \(m\) 段目にいる確率 \(y_{m}\) を求めよ．

問3　\(n\) は自然数とする．\(n\) 回のゲームを終えた結果，\(B\) が \(0\) 段目にいる確率 \(z_{m}\) を求めよ．

\(i\) は虚数単位を表すものとする．複素数 \(z\) に関する方程式

\(z=\left(\cos\displaystyle\frac{\pi}{3}-i\sin\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\overline{z}\)

の表す複素数平面上の図形を \(l\) とする．次の問いに答えよ．

問１　\(l\) は直線であることを証明せよ．

問２　直線 \(l\) に関して複素数 \(w\) と対称な点を \(w\) の式で表せ．

問３　複素数 \(z\) に対して，\(z\) を点 \(1\) を中心に反時計回りに \(\displaystyle\frac{2\pi}{3}\) 回転した点を \(z_{1}\) とし，次に \(z_{1}\) を原点を中心に反時計回りに \(\displaystyle\frac{2\pi}{3}\) 回転した点を \(z_{2}\) とする．さらに，直線 \(l\) に関して \(z_{2}\) と対称な点を \(f(z)\) とする．\(f(z)\) を \(z\) の式で表せ．

問４　\(f(z)\) は問３のとおりとする．複素数 \(z\) に関する方程式

\(f(z)=-z-\displaystyle\frac{3}{2}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}i\)

の表す複素数平面上の図形を図示せよ．

次の問いに答えよ．

問1　\(a\)，\(b\) は実数とし，\(f(x)\) は \(a\)，\(b\) が属する開区間で定義された関数とする．\(f(x)\) が連続な第 \(2\) 次導関数 \(f^{\prime\prime}(x)\) をもつとき，次の等式を証明せよ．

\(\displaystyle\int^{b}_{a}(b-x)(x-a)f^{\prime\prime}(x)dx=(b-a)\left(f(a)+f(b)\right)-2\displaystyle\int^{b}_{a}f(x)dx\)

問2　\(t\) を正の実数とする．次の不等式を証明せよ．

\(0≦\displaystyle\int^{t+1}_{t}\log{x} dx-\displaystyle\frac{1}{2}\left(\log{t}+\log{(t+1)}\right)≦\displaystyle\frac{1}{8}\left(\displaystyle\frac{1}{t}-\displaystyle\frac{1}{t+1}\right)\)

問3　次で定まる数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) に対し，極限値 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{a_{n}}{\log{n}}\) を求めよ．

\(a_{n}=\log{(n!)}-n\log{n}+n\) ( \(n=1,2,3,\cdots\) )

\(p\) は素数とする．次の問いに答えよ．

問1　\(j\) を \(0<j<p\) である整数とすると，二項係数 \(_{p}C_{j}\) は \(p\) で割り切れることを示せ．

問2　自然数 \(m\) に対して \((m+1)^p-m^p-1\) は \(p\) で割り切れることを示せ．

問3　自然数 \(m\) に対して \(m^p-m\) は \(p\) で割り切れることを示せ．さらに \(m\) が \(p\) で割り切れないときには，\(m^{p-1}\) が \(p\) で割り切れることを示せ．

ここで，次の集合 \(S\) を考える．

\(S=\left\{4n^2+4n-1 | n は自然数\right\}\)

例えば，\(n=22\) とすると \(4n^2+4n+-1=2023\) なので \(2023\) は \(S\) に属する．

次の問いに答えよ．

問4　整数 \(a\) が \(S\) に属し，\(a=4n^2+4n-1\) ( \(n\) は自然数 ) と表されているとする．このとき，\(a\) と \(2n+1\) は互いに素であることを示せ．

問5　\(p\) は \(3\) 以上の素数とする．\(p\) が \(S\) に属するある整数 \(a\) を割り切るならば，\(2^{\frac{p-1}{2}}-1\) は \(p\) で割り切れることを示せ．