【2023東京医科大学】(1+i)のn乗が正の実数になるような3桁の整数の個数

【2023東京医科大学・医学部・第１問(３)】

\(i\) を虚数単位とする．\((1+i)^n\) が正の実数になるような \(3\) 桁の整数 \(n\) は何個あるか．

解答・解説

\(1+i=\sqrt{2}\left(\cos\displaystyle\frac{\pi}{4}+i\sin\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) で

ド・モアブルの定理から

\((1+i)^n=(\sqrt{2})^n\left(\cos\displaystyle\frac{n\pi}{4}+i\sin\displaystyle\frac{n\pi}{4}\right)\)

よって，\((1+i)^n\) が正の実数となるのは

\(\cos\displaystyle\frac{n\pi}{4}>0\) かつ \(\sin\displaystyle\frac{n\pi}{4}=0\)

よって，\(\cos\displaystyle\frac{n\pi}{4}=1\) を満たす \(n\)

つまり \(n\) が \(8\) の倍数となるときである．

したがって，

\(104=13\times 8\)，\(112=14\times 8\)，\(\cdots\)，\(992=124\times 8\) の

\(124-13+1=112\) 個