【2024共通テスト(第１日程)】数学ⅡB：第１問〔１〕指数・対数関数｜対数関数のグラフ、領域

(１)問題《ア～キ》

(ⅰ)　\(y=log_{3}{x} \) のグラフは

\(x=27\) のとき \( y=log_{3}{27}=log_{3}{3^3}=3\) より \((27，3)\) ・・・《ア》を通る．

また，\(y=log_{2}{\displaystyle\frac{x}{5}}\) のグラフは

\(y=1\) のとき \(1=log_{2}{\displaystyle\frac{x}{5}}\) \(\iff\) \(\displaystyle\frac{x}{5}=2\)

よって \(x=10\) なので，\((10，1)\) ・・・《イウ》を通る．

(ⅱ)　\(y=\log_{k}{x}\) のグラフは，\(k\) の値によらず定点 \((1，0)\) ・・・《エオ》を通る．

(ⅲ)　\(k=2,3,4\) のとき \(y=log_{k}{x}\) のグラフ

(ⅱ)より，\(y=\log_{k}{x}\) のグラフは，\(k\) の値によらず定点 \((1，0)\) を通るので，答えの可能性は『 ⓪ or ① 』

ここで，\(x=4\) として考えてみる．

\(k=2\) のとき \(y=\log_{2}{4}=2\)

\(k=4\) のとき \(y=\log_{4}{4}=1\) であるから，これを満たすのは ⓪ ・・・《カ》

また \(y=\log_{2}{kx}\) のグラフについて

\(y=\log_{2}{kx}=\log_{2}{x}+\log_{2}{k}\)

これは \(y=\log_{2}{x}\) のグラフを \(y\) 軸方向に \(\log_{2}{k}\) だけ平行移動したグラフであるから，⑤ ・・・《キ》

\(log_{x}{y}=2\) \(\iff\) \(y=x^2\) より

放物線 \(y=x^2\) ・・・《ク：②》の \(x>0\)，\(x\not=0\)，\(y>0\) の部分となる

\(0<log_{x}{y}<1\) \(\iff\) \(\log_{x}{1}<\log_{x}{y}<\log_{x}{x}\)

・\(0<x<1\) のとき \(x<y<1\)

・\(x>1\) のとき \(1<y<x\)

これを満たす領域は，②・・・《ケ》