13 千葉大学｜三角関数 tan10°=tan20°tan30°tan40° を示せ

はじめに

問題はシンプルですが、意外と手を動かしてみると途中で止まってしまう問題です。

しっかりと三角関数にまつわる公式が定着・使いこなせることが出来るかを確認するのによい１問です。様々な解法が思いつく問題ですが、ここでは２つの解法を紹介しておきます。それぞれ使う公式が異なりますので、三角関数の公式の復習に！

三角関数の公式に不安がある人は、問題を解く前に公式をチェック！

【三角関数】公式まとめ&差がつく入試問題演習

解法Ⅰ(加法定理・倍角の公式利用)

\(\tan10\text{°}=t\) とおく．

加法定理より

\(\tan20\text{°}=\tan(30\text{°}-10\text{°})=\displaystyle\frac{\tan30\text{°}-\tan10\text{°}}{1+\tan30\text{°}\tan10\text{°}}\)

\(\tan30\text{°}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\) 、\(\tan10\text{°}=t\) を代入してまとめると、

\(\tan20\text{°}=\displaystyle\frac{1-\sqrt{3}t}{\sqrt{3}+t}\)

同様に、

\(\tan40\text{°}=\tan(30\text{°}+10\text{°})=\displaystyle\frac{1+\sqrt{3}t}{\sqrt{3}-t}\)

よって、

\(\tan20\text{°}\cdot\tan40\text{°}=\displaystyle\frac{1-\sqrt{3}t}{\sqrt{3}+t}\cdot \displaystyle\frac{1+\sqrt{3}t}{\sqrt{3}-t}=\displaystyle\frac{1-3t^2}{3-t^2}\)

また、２倍角の公式より

\(\tan20\text{°}=\tan2\cdot 10\text{°}=\displaystyle\frac{2t}{1-t^2}\) ・・・ ①

\(\tan30\text{°}=\tan(20\text{°}+10\text{°})=\displaystyle\frac{\tan20\text{°}+\tan10\text{°}}{1-\tan20\text{°}\tan10\text{°}}\)

①より

\(\tan30\text{°}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2t}{1-t^2}+t}{1-\displaystyle\frac{2t}{1-t^2}\cdot t}=\displaystyle\frac{3t-t^3}{1-3t^2}\)

したがって、

\(\tan20\text{°}\cdot\tan30\text{°}\cdot\tan40\text{°}=\displaystyle\frac{1-3t^2}{3-t^2}\cdot \displaystyle\frac{3t-t^3}{1-3t^2}=t\)

ゆえに、

\(\tan10\text{°}=\tan20\text{°}\cdot\tan30\text{°}\cdot\tan40\text{°}\) が成立する．

解法Ⅱ(積和の公式利用)

\(\tan40\text{°}\not=0\) より

\(\displaystyle\frac{\tan10\text{°}}{\tan40\text{°}}=\tan20\text{°}\cdot\tan30\text{°}\) を示せばよい．

\(\tan\theta=\displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) なので、

\(\displaystyle\frac{\sin10\text{°}}{\cos10{°}}\cdot \displaystyle\frac{\cos40\text{°}}{\sin40{°}}=\displaystyle\frac{\sin20\text{°}}{\cos20{°}}\cdot\displaystyle\frac{\sin30\text{°}}{\cos30{°}}\) ・・・① を示せばよい．

ここで、積和の公式より、

\(\sin10\text{°}\cdot\cos40\text{°}=\displaystyle\frac{1}{2}(\sin50\text{°}-\sin30\text{°})\)

\(\cos10\text{°}\cdot\sin40\text{°}=\displaystyle\frac{1}{2}(\sin50\text{°}+\sin30\text{°})\)

\(\sin20\text{°}\cdot\sin30\text{°}=-\displaystyle\frac{1}{2}(\cos50\text{°}-\cos10\text{°})\)

\(\cos20\text{°}\cdot\cos30\text{°}=\displaystyle\frac{1}{2}(\cos50\text{°}+\cos10\text{°})\) より、

①に代入して、

\(\displaystyle\frac{\sin50\text{°}-\sin30\text{°}}{\sin50\text{°}+\sin30\text{°}}=\displaystyle\frac{-\cos50\text{°}+\cos10\text{°}}{\cos50\text{°}+\cos10\text{°}}\) ・・・②を示せばよい．

②の分母を払い、式を整理すると

\(2\sin50\text{°}\cos50\text{°}-2\sin30\text{°}\cos10\text{°}=0\) ・・・③を示せばよい．

２倍角の公式から

\(2\sin50\text{°}\cos50\text{°}=\sin100\text{°}\)

\(\sin(90\text{°}+\theta)=\cos\theta\) であるから、\(\sin100\text{°}=\cos10\text{°}\)

また、\(\sin30\text{°}=\displaystyle\frac{1}{2}\) なので、

(③の左辺)\(=\cos10\text{°}-\cos10\text{°}=0\) となり成立する．