f(x)=2x^3-9x^2+6x
の極大値を M ，極小値を m とするとき，以下の値を求めよ．
① M+m
② M-m
はじめに(ただ答えが出せるだけでは✖)
f(x)=2x^3-9x^2+6x より
f^{\prime}(x)=6x^2-18x+6=6(x^2-3x+1)
f^{\prime}(x)=0 より
x=\displaystyle\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}
これを f(x)=2x^3-9x^2+6x に代入すれば当然答えは出ますが・・・・・
(もっと面倒な計算でもしますか？？または文字が入っていたら・・・)
または、2021 近畿大学【数学Ⅱ・高次方程式】計算の工夫で紹介したように、
f(x) を f^{\prime}(x) で割り、その余りに代入すると言う手法もあります．
せめてガッツで計算するにしても、計算の工夫をして欲しいものです．
ここでは、３次関数の「極値の和」と「極値の差」というポイントを紹介します．
このポイントは様々な問題に応用が出来ますので、是非今回の具体的な問題でしっかりと理解し、他の問題でも使えるようにしていきましょう！
「極値の和」について
３次関数のグラフは、
極大点と極小点の中点(変曲点という)
に関して対称つまり、f^{\prime}(x)=0 となる x=\alpha , \beta ( \alpha<\beta ) とおくと、
f\left(\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\displaystyle\frac{M+m}{2}
①解答
f(x)=2x^3-9x^2+6x より
f^{\prime}(x)=6x^2-18x+6=6(x^2-3x+1)
f^{\prime}(x)=0 となる x=\alpha , \beta ( \alpha<\beta ) とおくと、
解と係数の関係より、\alpha+\beta=3・・・①
３次関数のグラフは、極大点と極小点の中点に関して対称であるから、
f\left(\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\displaystyle\frac{M+m}{2}・・・②
が成立する．
①を②に代入して、
M+m=2f\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)=2\left(2\cdot\displaystyle\frac{27}{8}-9\cdot\displaystyle\frac{9}{4}+6\cdot\displaystyle\frac{3}{2}\right)=-9
「極値の差」について
極値の差
☞ y=f^{\prime}(x) と x 軸で囲まれた面積
【Pointの説明】
上の図の面積を S とおくと、
S=-\displaystyle\int_{ \alpha }^{ \beta } f^{\prime}(x) dx
=-\displaystyle\left[f(x)\right]^{\beta}_{\alpha}
=f(\alpha)-f(\beta) (☜極値の差)
(2)解答
M-m=f(\alpha)-f(\beta)
=-\displaystyle\left[f(x)\right]^{\beta}_{\alpha}
=-\displaystyle\int_{ \alpha }^{ \beta } f^{\prime}(x) dx ・・・①
ここで、f^{\prime}(x)=6(x^2-3x+1) であり、
x^2-3x+1=0 の解が x=\alpha , \beta なので、
f^{\prime}(x)=6(x-\alpha)(x-\beta)
①に代入して
M-m=-\displaystyle\int_{ \alpha }^{ \beta } 6(x-\alpha)(x-\beta) dx
\displaystyle\int_{ \alpha }^{ \beta } (x-\alpha)(x-\beta)=-\displaystyle\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 より
M-m=(\beta-\alpha)^3
=\left\{(\beta-\alpha)^2\right\}^{\frac{3}{2}}
=\left\{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\right\}^{\frac{3}{2}}
x^2-3x+1=0 の解が x=\alpha , \beta なので、解と係数の関係から
\alpha+\beta=3、\alpha\beta=1
よって、M-m=\displaystyle5^{\frac{3}{2}}=5\sqrt{5}
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