【問題3】
(1) 複素数 \(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\) は、\(| \alpha | = | \beta | = | \gamma | = 1\) である．
このとき、\(\displaystyle\frac{(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)(\alpha+\beta)}{\alpha\beta\gamma}\) は実数であることを証明せよ．
(2) \(z\) は複素数で \(| z | = 1\) であるとき、\(z^2+2z+\displaystyle\frac{1}{z}\) が負の実数であるような \(z\) を求めよ．
Point：実数・虚数条件
・\(z\) が実数 \(\iff\) \(\overline{ z } = z\)
・\(z\) が純虚数 \(\iff\) \(\overline{ z } = -z\)、\(z\not=0\)
解答
(1) 解答
\(\omega=\displaystyle\frac{(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)(\alpha+\beta)}{\alpha\beta\gamma}\) とおく．
\(\overline{\omega}=\displaystyle\frac{(\overline{\beta}+\overline{\gamma})(\overline{\gamma}+\overline{\alpha})(\overline{\alpha}+\overline{\beta})}{\overline{\alpha}\overline{\beta}\overline{\gamma}}\) ・・・①
\(| z | = 1 \iff z\cdot \overline{z}=1 \iff \overline{z}=\displaystyle\frac{1}{z}\) より、
\(\overline{\alpha}=\displaystyle\frac{1}{\alpha}\)、\(\overline{\beta}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\)、\(\overline{\gamma}=\displaystyle\frac{1}{\gamma}\) が成立し、これらを①に代入すると、
\(\overline{\omega}=\displaystyle\frac{\left(\displaystyle\frac{1}{\beta}+\displaystyle\frac{1}{\gamma}\right)\left(\displaystyle\frac{1}{\gamma}+\displaystyle\frac{1}{\alpha}\right)\left(\displaystyle\frac{1}{\alpha}+\displaystyle\frac{1}{\beta}\right)}{\displaystyle\frac{1}{\alpha}\cdot \displaystyle\frac{1}{\beta}\cdot \displaystyle\frac{1}{\gamma}}\\=\alpha\beta\gamma\cdot\displaystyle\frac{\beta+\gamma}{\beta\gamma}\cdot\displaystyle\frac{\gamma+\alpha}{\gamma\alpha}\cdot\displaystyle\frac{\alpha+\beta }{\alpha\beta}\\=\displaystyle\frac{(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)(\alpha+\beta)}{\alpha\beta\gamma}\\=\omega\)
したがって、\(\omega\) は実数である．
(2) 解答
\(\omega=z^2+2z+\displaystyle\frac{1}{z}\) とおく．
\(|z|=1\) より、\(\overline{z}=\displaystyle\frac{1}{z}\) ・・・①
\(\overline{\omega}= (\overline{z})^2+2\overline{z}+\displaystyle\frac{1}{\overline{z}}\)
①より、
\(\overline{\omega}=\displaystyle\frac{1}{z^2}+\displaystyle\frac{2}{z}+z\)
\(\omega\) が実数のとき \(\overline{\omega}=\omega\) より
\(z^2+2z+\displaystyle\frac{1}{z}＝\displaystyle\frac{1}{z^2}+\displaystyle\frac{2}{z}+z \)
よって、
\(z^2+z-\displaystyle\frac{1}{z}-\displaystyle\frac{1}{z^2}=0\)
\(\left(z-\displaystyle\frac{1}{z}\right)\left(z+\displaystyle\frac{1}{z}+1\right)=0\)
\( z-\displaystyle\frac{1}{z}=0\) または \( z+\displaystyle\frac{1}{z}+1=0\)
(ⅰ) \( z-\displaystyle\frac{1}{z}=0\) のとき
\(z^2=1\) より \(z=\pm1\)
(ア) \(z=1\) のとき
\(\omega=4\) となり、正の実数なので不適
(イ) \(z=-1\) のとき
\(\omega=-2\) となり、適する
(ⅱ) \( z+\displaystyle\frac{1}{z}+1=0\) のとき
\( z^2+z+1=0\) より
\(z=\displaystyle\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}\)
\(\omega= z^2+2z+\displaystyle\frac{1}{z}=(z^2+z)+\left(z+\displaystyle\frac{1}{z}\right)\)
\( z+\displaystyle\frac{1}{z}+1=0\) より \( z+\displaystyle\frac{1}{z}=-1\)
また、\( z+\displaystyle\frac{1}{z}+1=0\) より \(z^2+z+1=0 \iff z^2+z=-1\) なので
\(\omega=-1-1=-2\) となり適する．
以上より、\(z=-1 , \displaystyle\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}\)
※(ⅱ)の計算について
ここではできるだけ計算量を減らすために工夫をした．
もちろん、\(z=\displaystyle\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}\) を \(\omega\) に代入して確認しても良い．
(2) 別解（考え方）
複素数平面のまとめ①でもお話ししたが、複素数平面の基本的な解法として３つ紹介しています。
複素数平面の基本的な解法
複素数平面の問題は、基本的に次の３つのどれかで考えていきます．
① \(z\) のまま扱う
・\(|z|^2=z\cdot \overline{z}\)、\(z+\overline{z}\) は実数・・・などの性質を利用
② \(z=x+yi\) ( \(x , y\) は実数 ) とおいて計算
③ 極形式の利用
・\(z=r(\cos \theta+i\sin \theta)\) とおいて
ド・モアブルの定理などを利用
今回の(2)については、「① \(z\) のまま扱う」という流れで解答を作りました。
「② \(z=x+yi\) ( \(x , y\) は実数 ) とおいて計算」や「③ 極形式の利用」でも答えを作ることが出来ます。
ここでは別解として、「③ 極形式の利用」を与えておきます。余力がある人は、「② \(z=x+yi\) ( \(x , y\) は実数 ) とおいて計算」についても取り組んで見て下さい！
（２）別解
(2) \(|z|=1\) より
\(z=\cos \theta+i\sin \theta\) とおく．(\(0≦\theta<2\pi\))
\(z^2+z+\displaystyle\frac{1}{z}\\=(\cos \theta+i\sin \theta)^2+2(\cos \theta+i\sin \theta)+ \cos (-\theta)+i\sin (-\theta)\\=(\cos^2 \theta-\sin^2 \theta+3\cos \theta)+i(2\sin \theta\cos \theta+\sin \theta)\)
これが負の実数となるとき、
\(2\sin \theta\cos \theta+\sin \theta =0\) かつ \(\cos^2 \theta-\sin^2 \theta+3\cos \theta<0 \) ・・・(※)
\(2\sin \theta\cos \theta+\sin \theta =0\) より
\(\sin \theta(2\cos \theta+1) =0\)
よって、\(\sin \theta=0\)、\(\cos \theta=-\displaystyle\frac{1}{2}\)
\(\theta = 0 , \pi , \displaystyle\frac{2\pi}{3} , \displaystyle\frac{4\pi}{3}\)
それぞれの値を(※)に代入して確認すると、
\(\theta=0\) のとき(※)\(=4\) となり不適
\(\theta=\pi\) のとき(※)\(=-2\) となり適する
\(\theta=\displaystyle\frac{2\pi}{3}\) のとき(※)\(=-2\) となり適する
\(\theta=\displaystyle\frac{4\pi}{3}\) のとき(※)\(=-2\) となり適する
よって、\(\theta = \pi , \displaystyle\frac{2\pi}{3} , \displaystyle\frac{4\pi}{3}\)
したがって、それぞれを\(z=\cos \theta+i\sin \theta\) に代入して、
\(z=-1 , \displaystyle\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}\)
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