2022京都大学・文理共通【空間図形・ベクトル】垂直の証明、最小値

確認事項

$2$ つのベクトルが垂直であるとき、内積が $0$

$3$ 点が一直線上

$△ABC$ の重心 $G$ について

解答

(１)

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$、$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{p}$、$\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{g}$ とおく．

点 $P$ は $BC$ 上より、実数 $t$ を用いて、

$\overrightarrow{BP}=t\overrightarrow{BC}$ とおけ、

$\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b}=t(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})$

よって、$\overrightarrow{p}=(1-t)\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}$ ・・・①

また、点 $G$ は $△OAP$ の重心であるから、

$\overrightarrow{g}=\displaystyle\frac{1}{3}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{p})$

よって、$\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{g}-\overrightarrow{p}=\displaystyle\frac{1}{3}(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{p})$ ・・・②

②より、$\overrightarrow{PG}\cdot\overrightarrow{a}=\displaystyle\frac{1}{3}(|\overrightarrow{a}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{p})$ ・・・③

①より、

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{p}=(1-t)\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}$ ・・・④

ここで、$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}$ の値について考える．

$△OAB$ において、

$|\overrightarrow{AB}|=3 \iff |\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|=3$ を $2$ 乗すると、

$|\overrightarrow{b}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{a}|^2=9$

$|\overrightarrow{a}|=4$、$|\overrightarrow{b}|=3$ より

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=8$

同様に考え、$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}=8$

よって④より、$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{p}=8$ となるので、③に代入すると、

$\overrightarrow{PG}\cdot\overrightarrow{a}=\displaystyle\frac{1}{3}(4^2-2\times8)=0$

したがって、$\overrightarrow{PG}\perp\overrightarrow{OA}$

(２)

②より、$|\overrightarrow{PG}|^2=\displaystyle\frac{1}{9}(|\overrightarrow{a}|^2-4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{p}+4|\overrightarrow{p}|^2)$

$|\overrightarrow{a}|=4$、$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{p}=8$ より、

$|\overrightarrow{PG}|^2=\displaystyle\frac{4}{9}(|\overrightarrow{p}|^2-4)$

したがって、$|\overrightarrow{p}|$ が最小となるとき $|\overrightarrow{PG}|$ が最小となる．

つまり、点 $O$ から $BC$ への距離が最小となればよいので、$OP\perp BC$ のときである．

余弦定理より、$\cos\angle OBC=\displaystyle\frac{3^2+3^2-(2\sqrt3)^2}{2\cdot 2\cdot 3}=\displaystyle\frac{1}{3}$ であり、

$△OBP$ に注目して、

$\cos\angle OBC=\displaystyle\frac{BP}{OB}$ より、$BP=1$

よって、$OP=2\sqrt{2}$

このとき、

$|\overrightarrow{PG}|^2=\displaystyle\frac{4}{9}((2\sqrt{2})^2-4)=\displaystyle\frac{16}{9}$ なので、

求める最小値は、$PG=\displaystyle\frac{4}{3}$

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2022.05.18