【数学 Ⅱ 微分】微分係数・導関数の定義，公式と演習問題

導関数の定義

関数 $y=f(x)$ の $x=a$ における微分係数は

一般に，関数 $y=f(x)$ の $x=a$ において，$x$ の各値 $a$ に対して，微分係数 $f^{\prime}(a)$ を対応させると，$1$ つの新しい関数が得られる．この新しい関数を，もとの関数 $f(x)$ の導関数といい，

で表す．関数 $f(x)$ から導関数 $f^{\prime}(x)$ を求めることを，$f(x)$ を微分するという．

(１)　京都薬科大学

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 5} \displaystyle\frac{5f(x)-xf(5)}{x-5}$

$=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 5} \displaystyle\frac{5\left\{f(x)-f(5)+f(5)\right\}-xf(5)}{x-5}$

$=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 5} \displaystyle\frac{5\left\{f(x)-f(5)\right\}-(x-5)f(5)}{x-5}$

$=5\displaystyle\lim_{x\rightarrow 5} \displaystyle\frac{f(x)-f(5)}{x-5}-f(5)$

$=5f^{\prime}(5)-f(5)$

(２)　防衛大学

$\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(a+h)-f(a-2h)}{h}$

$=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)+f(a)-f(a-2h)}{h}$

$=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(a-2h)-f(a)}{h}$ ・・・①

ここで，

$\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(a-2h)-f(a)}{h}$

$=\displaystyle\lim_{-2h\rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(a+(-2h))-f(a)}{(-2h)}\times (-2)=-2f^{\prime} (a)$ より

①から与式は，$f^{\prime}(a)-\left(-2f^{\prime}(a)\right)=3f^{\prime}(a)$

(３)　2021龍谷大学

$\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\displaystyle\frac{(x+h)^3-x^3}{h}=3x^2+3xh+h^2$

よって，$\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}(3x^2+3xh+h^2)=3x^2$

したがって，$f^{\prime}(x)=3x^2$ が成り立つ．

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2021.09.13