【2020東京電機大・理工】x=-1で極大値7、x=3で極小値-25となる3次関数f(x)の決定｜逆(十分条件)の確認

【2020東京電機大・理工】

\(3\) 次関数 \(f(x)\) は \(x=-1\) で極大値 \(7\) をとり，\(x=3\) で極小値 \(-25\) をとる．

\(f(x)\) を求めよ．

\(x=a\) で極値をもつとき(逆の確認を！)

\(x=a\) で極値をもつ　\(\Rightarrow\)　\(f^{\prime}(a)=0\)

※ 逆の「 \(f^{\prime}(a)=0\)　\(\Rightarrow\)　\(x=a\) で極値をもつ」に関しては，成り立つとは限らない．

反例：\(f(x)=x^3\)

逆に関しては成り立たないことがあるため，

最後に逆の確認(十分条件)の確認を忘れないように！

\(a\not=0\) とし，\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) とすると，

\(f^{\prime}(-1)=0\) , \(f^{\prime}(3)=0\) であるから

\(3a-2b+c=0\) ・・・①

\(27a+6b+c=0\) ・・・②

② ー ①から \(24a+8b=0\)

よって，\(b=-3a\) ・・・③

①に③を代入すると，\(c=-9a\) ・・・④

③，④より \(f(x)=ax^3-3ax^2-9ax+d\)

また，\(f(-1)=7\) , \(f(3)=-25\) であるから

\(5a+d=7\) , \(-27a+d=-25\) より

\(a=1\) , \(d=2\)

③，④より \(b=-3\) ，\(c=-9\)

ここで答えとしたら減点されます！

逆の確認(十分条件)の確認を忘れずに！

このとき逆に，\(f(x)=x^3-3x^2-9x+2\) であるから

\(f^{\prime}(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)\) より増減表は次のようになる．

よって確かに，

ゆえに，\(3\) 次関数 \(f(x)\) は \(x=-1\) で極大値，\(x=3\) で極小値をもつ

したがって，\(f(x)=x^3-3x^2-9x+2\)