【2015東京大学】曲線の通過領域｜パラメータ(媒介変数)aの存在条件・２次方程式の実数解の存在条件

通過領域について

通過領域の問題は入試頻出です！

今までに経験したことがない人は，「【頻出】通過領域・逆像法(逆手流)《考え方》」をまず確認しましょう！

【頻出】通過領域・逆像法(逆手流)《考え方》

大学入試で重要かつ頻出分野。数学Ⅱ（図形と方程式）の通過領域の解法（考え方・思考の仕方）について具体的に実験を通して解説。実数存在条件。1文字固定法。

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2021.08.05

基本的な通過領域の問題をしっかりとマスターした上で東大の問題にチャレンジしましょう！

方針・考え方

\(y=ax^2+\displaystyle\frac{1-4a^2}{4a}\) を \(a\) の \(2\) 次方程式と考える

\(4(x^2-1)a^2-4ya+1=0\) ・・・①

①の \(a\) の 方程式が正の実数解を少なくとも \(1\) つもてばよい

ここで，\(f(a)=4(x^2-1)a^2-4ya+1\) は

• \(x^2-1<0\) のとき上に凸の放物線
• \(x^2-1=0\) のとき直線
• \(x^2-1>0\) のとき下に凸の放物線

であるから，それぞれで場合分けをして考える．

また，\(f(0)=1>0\) ( \(y\) 切片が正 ) であることに注目しましょう！

解答・解説

\(y=ax^2+\displaystyle\frac{1-4a^2}{4a}\) より

\(4(x^2-1)a^2-4ya+1=0\) ・・・①

①を \(a\) の 方程式と考えて，正の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつ条件を考えればよい．

ここで，\(f(a)=4(x^2-1)a^2-4ya+1\) とおく．

\(f(0)=1>0\) であることに注意して以下考える．

( ⅰ )　\(x^2-1<0\) \(\iff\) \(-1<x<1\) のとき

\(f(a)=4(x^2-1)a^2-4ya+1\) は上に凸の放物線で，

\(f(0)=1>0\) であるから，①は \(y\) の値によらず \(a\) が正の範囲において実数解をもつ．

( ⅱ )　\(x^2-1=0\) \(\iff\) \(x=\pm1\) のとき

\(f(a)=-4ya+1\) は直線で，\(f(0)=1>0\) であるから

傾き \(-4y<0\) となればよい．

よって，\(y>0\)

( ⅲ )　\(x^2-1>0\) \(\iff\) \(x<-1 , 1<x\) のとき

\(f(a)=4(x^2-1)a^2-4ya+1\) は下に凸の放物線で，\(f(0)=1>0\) でるから，

軸 ：\(a=\displaystyle\frac{4y}{2\cdot4(x^2-1)}>0\) かつ

\(f(a)=0\) の判別式 \(D\) が \(D≧0\) を満たせばよい．

2次方程式が正の範囲に解をもつ条件の考え方については，

解の配置(分離)の問題を確認してください！

【頻出】２次関数の解の配置(分離)：１より大きい異なる２つの解、異符号の解など２パターン完全マスター

軸 ：\(a=\displaystyle\frac{4y}{2\cdot4(x^2-1)}>0\) より

\(x^2-1>0\) であるから \(y>0\)

また，\(\displaystyle\frac{D}{4}=4y^2-4(x^2-1)≧0\)

よって，\(x^2-y^2≦1\)

( ⅰ )〜( ⅲ )より

ただし境界線は実線部分を含み，点線部分は含まない．