【2022藤田医科大学(後期)】x>0において、x/2+2/x^2の最小値｜①数学Ⅲの微分②相加相乗の利用

相加平均・相乗平均の関係を利用した解法

考え方

$\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{2}{x^2}$ について

この式の形を見たときに、相加相乗は使えないか？？と一瞬頭をよぎることができましたか？？

相加相乗平均の関係については、

「相加平均・相乗平均の関係はいつ使う？使うタイミングの見抜き方（発展）」や

「３つの相加・相乗平均の関係｜実践問題【慶応義塾大学】」を参考にしてください。

しかし，与式にそのまま相加平均・相乗平均の関係を用いても，

$\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{2}{x^2}≧2\sqrt{\displaystyle\frac{x}{2}\cdot\displaystyle\frac{2}{x^2}}=2\sqrt{\displaystyle\frac{1}{x}}$

となり，ルートの中に $x$ が残ってしまう・・・

そこで，

解答・解説

$x>0$ において

$\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{2}{x^2}=\displaystyle\frac{x}{4}+\displaystyle\frac{x}{4}+\displaystyle\frac{2}{x^2}$

$x>0$ であるから，相加平均・相乗平均の関係より

$\displaystyle\frac{x}{4}+\displaystyle\frac{x}{4}+\displaystyle\frac{2}{x^2}≧3\sqrt[3]{\displaystyle\frac{x}{4}\cdot\displaystyle\frac{x}{4}\cdot\displaystyle\frac{2}{x^2}}=\displaystyle\frac{3}{2}$

等号成立は，$\displaystyle\frac{x}{4}$$\left(=\displaystyle\frac{x}{4}\right)$$=\displaystyle\frac{2}{x^2}$

つまり，$x^3=8$ で $x>0$ より $x=2$ のとき

したがって，$x=2$ のとき最小値は $\displaystyle\frac{3}{2}$

【参考】数学Ⅲの微分を利用した解法

$f(x)=\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{2}{x^2}$ ( $x>0$ )とおく

$f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{4}{x^3}=\displaystyle\frac{x^3-8}{2x^3}$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}h(x)=\infty$

$x\rightarrow\infty$ のとき，関数 $y=f(x)$ は，

$y=\displaystyle\frac{x}{2}$ を漸近線として無限大に発散していく！