sinx+siny=1のときcosx+cosyの範囲(最大・最小値)｜三角関数【名古屋市立大】

【名古屋市立大】

実数 $x$ , $y$ が $\sin x+\sin y=1$ を満たして変化するとき

$\cos x+\cos y$ のとり得る値の範囲を求めよ．

解答・解説

「実数 $x$ , $y$ が， $\sin x+\sin y=1$ を満たして変化するとき， $\cos x+\cos y=a$ となる」

$\iff$ $\begin{cases} \sin x+\sin y=1\\\cos x+\cos y=a\end{cases}$

を満たす実数 $x$ , $y$ が存在する．

$\sin^2y+\cos^2y=1$ より

$(1-\sin x)^2+(a-\cos x)^2y=1$

$\iff$ $\sin x+a\cos x=\displaystyle\frac{a^2+1}{2}$

$\iff$ $\sqrt{a^2+1}\sin (x+\alpha)=\displaystyle\frac{a^2+1}{2}$

$\iff$ $\sin (x+\alpha)=\displaystyle\frac{\sqrt{a^2+1}}{2}$

ただし， $\sin \alpha=\displaystyle\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}$ , $\cos\alpha=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}$

$\sin (x+\alpha)≦1$ より

$\displaystyle\frac{\sqrt{a^2+1}}{2}≦1$

よって $a^2≦3$

$-\sqrt{3}≦a≦\sqrt{3}$

したがって， $-\sqrt{3}≦\cos x+\cos y≦\sqrt{3}$