【2022大阪医科薬科大学・看護・[１]】
解答・解説
(１) 対称式の利用
覚えておきたい対称式の公式
・\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\)
・\(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\)
・\(a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)\)
\(a^4-b^4\) を素直に計算すると，計算ミスのリスクが・・・
また時間もかかりますので，和や積，差の簡単な形に分解し，対称式の公式を利用して簡単に計算しましょう！
\(a=\sqrt{3}+\sqrt{2}\)，\(b=\sqrt{3}-\sqrt{2}\) より
\(a+b=2\sqrt{3}\)，\(ab=1\)，\(a-b=2\sqrt{2}\) であり，
\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(2\sqrt{3})^2-2\times 1=10\)
\(a^4-b^4=(a^2+b^2)(a^2-b^2)=(a^2+b^2)(a+b)(a-b)\) であるから
\(a^4-b^4=10\times 2\sqrt{3}\times 2\sqrt{2}=\)\(40\sqrt{6}\) ・・・( d )
(２) 共分散
\(2\) つの変量 \(x\) , \(y\) のデータが \(n\) 個の \(x\) , \(y\) の値の組として
\(( x_{1} , y_{1} )\) , \(( x_{2} , y_{2} )\) , \(\cdots\) , \(( x_{n} , y_{n} )\) のとき，
\(s_{xy}=\displaystyle\frac{1}{n}\left\{\left(x_{1}-\overline{x}\right)\left(y_{1}-\overline{y}\right)+\left(x_{2}-\overline{x}\right)\left(y_{2}-\overline{y}\right)+\cdots+\left(x_{n}-\overline{x}\right)\left(y_{n}-\overline{y}\right)\right\}\)
共分散以外にも，平均値，中央値，最頻値，分散，標準偏差，相関係数など，一緒に確認しておきたい公式・性質があります。
【2021聖マリアンナ医科大学】データの分析と整数問題｜分散の最大・最小
をご参考に！
\(\overline{X}=\displaystyle\frac{1}{6}(2+5+6+8+4+5)=5\)
\(\overline{Y}=\displaystyle\frac{1}{6}(4+6+4+2+7+7)=5\) より
共分散は，
\(\displaystyle\frac{1}{6}\left\{(2-5)(4-5)+(5-5)(6-5)+(6-5)(4-5)\\+(8-5)(2-5)+(4-5)(7-5)+(5-5)(7-5)\right\}\)
\(=-1.5\) ・・・( a )
(３) 文字を含む方程式
必ず因数分解できるというわけではありませんが，文字を含む方程式・不等式は因数分解ができることが多いです。まず最初に因数分解を疑ってみる習慣を！！
\(x^2-(2a+1)x+2a=0\) ・・・①
\(x^2-ax-3a+1=0\) ・・・②
①より，\((x-1)(x-2a)=0\) \(\iff\) \(x=1,2a\)
・\(x=1\) が共通の実数解となるとき
②に代入して，\(1-a-3a+1=0\)
よって，\(a=\displaystyle\frac{1}{2}\)
・\(x=2a\) が共通の実数解となるとき
②に代入して，\(4a^2-2a^2-3a+1=0\)
\(2a^2-3a+1=0\) \(\iff\) \((a-1)(2a-1)=0\)
よって，\(a=1,\displaystyle\frac{1}{2}\)
以上から，①，②が共通の実数解をもつような定数 \(a\) の値は，( b ) \(2\) 個
(４) 最大公約数と約数の個数
自然数 \(N\) が \(N=a^x b^y c^z \cdots\) と素因数分解できるとき、
\(N\) の正の約数の個数は、\((x+1)(y+1)(z+1)\cdots\) となる．
\(12600=2^3\times 3^2\times 5^2\times 7\)
\(26460=2^2\times 3^3\times 5\times 7^2\) より
\(12600\) と \(26460\) の最大公約数は，\(2^2\times 3^2\times 5\times 7\)
これの正の約数の個数は，
\(3\times 3\times 2\times 2=\)\(36\) 個 ・・・( b )
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