【2021宮崎大学・医学部・第５問(１)】
次の空欄 [ あ ] 〜 [ し ] を適切な整数で埋めよ．
\(3x^2+10xy+8y^2+8x+10y-3\) を因数分解すると，
\(3x^2+10xy+8y^2+8x+10y-3=(x+ay+b)(3x+cy+d)\)
となる．このとき，定数 \(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\) の値は
\(a=\)[ あ ]，\(b=\)[ い ]，\(c=\)[ う ]，\(d=\)[ え ]
である．
これを用いて，等式
\(3x^2+10xy+8y^2+8x+10y+9=0\)
を満たす整数 \(x\)，\(y\) の組 \((x,y)\) を求めると，そのような組 \((x,y)\) は \(4\) つあることがわかり，それらを \(x\) の値が小さい方から順に並べると，
( [ お ] , [ か ] )，( [ き ] , [ く ] )，( [ け ] , [ こ ] )，( [ さ ] , [ し ] ) となる．
整数問題のPoint
まず整数問題すべてに共通して言えるPointは
- 積の形に変形
- 条件から範囲を絞る
- 倍数や余りに注目
整数問題の多くが、上の１から３のいずれかで処理できます。
考え方・解答・解説
有名な因数分解の問題ですね！解法手順が心配な方は
「【因数分解】解法手順・公式まとめ」をご確認ください。
\(3x^2+10xy+8y^2+8x+10y-3\)
\(=3x^2+(10y+8)x+(8y^2+10y-3)\)
\(=3x^2+(10y+8)x+(2y+3)(4y-1)\)
\(=(x+2y+3)(3x+4y-1)\)
よって， \(a=2\)，\(b=3\)，\(c=4\)，\(d=-1\)
\(3x^2+10xy+8y^2+8x+10y+9=(3x^2+10xy+8y^2+8x+10y-3)+12\) より
与式は，\((x+2y+3)(3x+4y-1)=-12\) と変形できる．
整数問題のPointの１の積の形に変形できました！
\((x+2y+3)(3x+4y-1)=-12\) の形から，積が \(-12\) になるペアを考えていけば良いのですが，\(-12\) と \(1\)，\(-6\) と \(2\)，・・・，\(12\) と \(-1\) とそれなりにあります。
そのようなときは，絞り込みを行いましょう！
絞り込みのやり方にはどのようなものがありますか？？
様々な方法がありますが，有名(使える場面が多い)ものを３つ紹介しておきますね！
１．大小関係に注目
例：\(a>b\) のとき，\((2a+1)(2b+1)=3\)
⏩ \(2a+1>2b+1\) のペアを考える
２．倍数・余りに注目
例：\((3a+1)(2b+1)=12\)
⏩ \(3a+1\) は \(3\) で割ったとき余りが \(1\) のペアを考える
３．和・差から偶奇に注目
例：\((a+b+1)(a-3b)=12\)
⏩ \((a+b+1)+(a-3b-1)=2(a-b)\) となり和が偶数であるから，偶数+偶数，奇数+奇数のいずれかであることがわかる．
\((x+2y+3)(3x+4y-1)=-12\) について，
\((x+2y+3)+(3x+4y-1)=2(2x+3y+1)\) となり和が偶数となるので，
\(x+2y+3\)，\(3x+4y-1\) の偶奇は一致することに注目すると，
\((x+2y+3,3x+4y-1)=(6,-2),(2,-6),(-2,6),(-6,2)\)
したがって，\((x,y)=(-7,5),(-3,1),(17,-11),(21,-15)\)
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