【2022京都府立大学・生命環境】2022!が5^mで割り切れるとき，mの最大値

【2022京都府立大学・生命環境・第１問(１)】

\(m\) は自然数とする．

\(2022!\) が \(5^m\) で割り切れるとき，\(m\) の最大値を求めよ．

考え方について

このシリーズの問題は頻出です！

私立・国公立大学に関わらず様々な大学で出題されています。

\(1\) から \(2022\) までの自然数のうち \(5\) の倍数の個数は，

\(2022=5\times 404+2\) より \(404\) 個

\(1\) から \(2022\) までの自然数のうち \(5^2\) の倍数の個数は，

\(2022=5^2\times 80+22\) より \(80\) 個

\(1\) から \(2022\) までの自然数のうち \(5^3\) の倍数の個数は，

\(2022=5^3\times 16+22\) より \(16\) 個

\(1\) から \(2022\) までの自然数のうち \(5^4\) の倍数の個数は，

\(2022=5^4\times 3+147\) より \(3\) 個

\(k≧5\) の自然数において，

\(5^k>2022\) より \(1\) から \(2022\) までの自然数のうち \(5^k\) の倍数の個数は \(0\) 個

したがって求める \(m\) の最大値は

\(404+80+16+3=503\)