【2023早稲田大学・商】n^2+n+1が91で割り切れるnで小さい順から100番目

解答・解説

(１)　$n^2+n+1$ が $7$ で割り切れる $n$ を小さい順に並べるとき，$100$ 番目

整数問題を扱う上で，合同式は必須アイテムになります！

合同式の基本的な性質については「合同式とは？合同式の基本性質を理解し、使えるようにする」を参考に！

合同式（基本編）基本的な問題で合同式を使う練習

合同式を使いこなすことで、整数分野の問題（余りに関する問題）を簡略化して処理できる。しかし慣れが必要であるため、基本的な問題を用いて合同式に慣れるための演習問題。 13の100乗を9で割った余り、nの2乗を3で割った余りなど、頻出問題を使って演習。

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2021.07.17

$mod 7$ として考える．

・$n≡0$ のとき $n^2+n+1≡1$

・$n≡1$ のとき $n^2+n+1≡3$

・$n≡2$ のとき $n^2+n+1≡0$

・$n≡3$ のとき $n^2+n+1≡6$

・$n≡4$ のとき $n^2+n+1≡0$

・$n≡5$ のとき $n^2+n+1≡3$

・$n≡6$ のとき $n^2+n+1≡1$ より

$n^2+n+1$ が $7$ で割り切れるのは

$n$ を $7$ で割ったときの余りが $2$ または $4$ のとき

つまり，$0$ 以上の整数 $m$ を用いて

$n=7m+2$，$7m+4$

したがって，$100$ 番目の整数は $m=49$ のとき

$n=7\times 49+4=$$347$

(２)　$n^2+n+1$ が $91$ で割り切れる $n$ を小さい順に並べるとき，$100$ 番目

$91=7\times 13$ より

$mod 13$ として考える．

$n≡0,1,2,\cdots,12$ の中で

$n^2+n+1≡0$ となるのは

$n≡3,9$ のとき

よって $0$ 以上の整数 $k$ を用いて

$n=13k+3$ ，$13k+9$

$n^2+n+1$ が $91$ で割り切れるのは，

『$n=7m+2$ または $7m+4$』かつ『$n=13k+3$ ，$13k+9$』のとき

( ⅰ )　$n=7m+2$ かつ $n=13k+3$ のとき

一次不定方程式の解法については

【頻出】１次不定方程式 (ax+by=c)の解法２つ(模範解答と時短裏技)

を参考に！

$7m+2=13k+3$ $\iff$ $7m-13k=1$

$(m,k)=(2,1)$ は解の $1$ つより

$7\times 2-13\times 1=1$

差を考えると

$7(m-2)=13(k-1)$

$7$ と $13$ は互いに素であるから，

$m-2=13l$ ( $l$ は整数 )

$m=13l+2$

$n=7(13l+2)+2=91l+16$

( ⅱ )　$n=7m+2$ かつ $n=13k+9$ のとき

( ⅰ ) と同様に考えると $n=91l+9$

( ⅲ )　$n=7m+4$ かつ $n=13k+3$ のとき

( ⅰ ) と同様に考えると $n=91l+81$

( ⅳ )　$n=7m+2$ かつ $n=13k+9$ のとき

( ⅰ ) と同様に考えると $n=91l+74$

ゆえに，$n=91l+9$，$91l+16$，$91l+74$，$91l+81$ ( $l$ は $0$ 以上の整数 )

したがって， $n$ を小さい順に並べるとき，$100$ 番目の整数は $l=24$ のとき

$n=91\times 24+81=$$2265$