【2021川崎医科大学】
\(a\) ， \(b\) ，\(c\) を \(1\) 以上の整数とする．
(1) \(2700\) を素因数分解せよ．
(2) \(2700=a\times b\) を満たす組 \((a,b)\) は全部で何通りあるか．またそのなかで，\(a>b\) を満たすものは全部で何通りあるか．
(3) \(2700=a\times b\times c\) を満たす組 \((a,b,c)\) の組は全部で何通りあるか．
解答・解説
(1) \(2700\) を素因数分解せよ．
(1) \(2700=2^2\times 3^2\times 5^2\)
(2) \(2700=a\times b\) を満たす組 \((a,b)\) は全部で何通り
正の約数の個数
自然数 \(N\) が \(N=a^x b^y c^z \cdots\) と素因数分解できるとき、
\(N\) の正の約数の個数は、\((x+1)(y+1)(z+1)\cdots\) となる．
(2) \(2700=a\times b\) のとき，\(a\) は \(2700\) の正の約数であり，
\(a\) が異なれば組 \((a,b)\) も異なるので，求める個数は \(2700\) の正の約数の個数と一致する．
よって，\((2+1)(3+1)(1+1)=36\) 通り
また，これらの中に \(a=b\) を満たすものはないのため，\(a>b\) を満たすものは半分の \(18\) 通り
(3) \(2700=a\times b\times c\) を満たす組 \((a,b,c)\) の組は全部で何通り
(3) \(2700=a\times b\times c\) を満たす組 \((a,b,c)\) の組は全部で何通りあるか．
\(a=2^{x_{1}}3^{y_{1}}5^{z_{1}}\)，\(b=2^{x_{2}}3^{y_{2}}5^{z_{2}}\)，\(c=2^{x_{3}}3^{y_{3}}5^{z_{3}}\) とおくと，
\(2700=a\times b\times c\) となる条件は
\(x_{1}+y_{1}+z_{1}=2\) ・・・①
\(x_{2}+y_{2}+z_{2}=3\) ・・・②
\(x_{3}+y_{3}+z_{3}=2\) ・・・③
①を満たす \(0\) 以上の整数の組は，
〇を \(2\) 個，仕切りを \(2\) 個並べたものと一致する．
よって，\(\displaystyle\frac{4!}{2!2!}=6\)
同様に考え，②，③を満たす整数の組はそれぞれ
\(\displaystyle\frac{5!}{3!2!}=10\)，\(\displaystyle\frac{4!}{2!2!}=6\)
したがって，\(6\times 10\times 6=360\) 通り
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