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【難関大学対策】平面の方程式と相加・相乗平均の利用(2021宮崎大学・一部改)

ベクトル

【2021 宮崎大学・改】

pq を正の実数とする.点 O を原点とする座標空間において、4

A ( 1 , 1 , 0 )B ( 0 , 2 , 0 )C ( 0 , 0 , 6 )D ( p , q , 1 )

をとる.3ABC を含む平面を \alpha\triangle{OAD} の面積を S とする.

D が平面上 \alpha を動くとき、面積 S の最小値を求めよ.

平面の方程式について

《参考》外積の利用

※ \vec{x}\times\vec{y}\vec{x}\vec{y} の外積という

※ 外積は高校数学では学習しません。(教科書に載っていません)そのため,記述式の答案で使用すると、減点される可能性があります。使用する場合は、記述として解答に残さないこと!

 

公式の使い方など、より詳しくは

平面の方程式・点と平面の距離・空間上の直線の方程式・外積の公式まとめ・例題演習
平面の方程式の公式の導き方と使い方。外積を利用した法線ベクトルを利用した解法も紹介。空間ベクトルを利用して、平面の方程式、直線の方程式、点と平面の距離など差がつく分野について公式、使い方の練習。京都大学をはじめ、難関大学では頻出のテーマ。2次試験対策。数学B空間ベクトル

解答・考え方

\overrightarrow{AB}=( -1 , 1 , 0 )\overrightarrow{AC}=( -1 , -1 , 6 ) の両方に垂直なベクトルを \vec{n}=( a , b , c ) とおくと、

\overrightarrow{AB}\cdot\vec{n}=0 かつ \overrightarrow{AC}\cdot\vec{n}=0 より

\begin{cases}-a+b=0\\-a-b+6c=0\end{cases}

よって、a=b=3c

c=1 として、\vec{n}=( 3 , 3 , 1 ) とする.

 

平面 \alpha の方程式は、

3(x-1)+3(y-1)+z-6=0

3x+3y+z-6=0 ・・・ ①

D が①上にあるとき

3p+3q-5=0

p+q=\displaystyle\frac{3}{5} ・・・ ②

 

また、S=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{| \overrightarrow{OA} |^2 \times | \overrightarrow{OD} |^2-\left(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OD}\right)^2} より、

S=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{2\times(p^2+q^2+1)-(p+q)^2}=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{p^2-2pq+q^2+2} ・・・ ③

 

②で和の形が分かっている。

③は対称式

Sの最小値を求めたい

→相加平均・相乗平均の関係を利用

相加平均・相乗平均の関係の使い方については、

相加平均・相乗平均の関係はいつ使う?使うタイミングの見抜き方(基本)

相加平均・相乗平均の関係はいつ使う?使うタイミングの見抜き方(発展)

を参考にしてください。

 

③より、

S=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{(p+q)^2-4pq+2}

②より S=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{-4pq+\displaystyle\frac{33}{9}} ・・・ ④

 

ここで、pq を正の実数なので、相加平均・相乗平均の関係より

p+q≧2\sqrt{pq}

②より、\displaystyle\frac{5}{3}≧\sqrt{pq}

よってpq≦\displaystyle\frac{25}{36}

④より、S≧\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{-4\times\displaystyle\frac{25}{36}+\displaystyle\frac{33}{9}}

したがって、S≧\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}

 

等号成立は、

\begin{cases}p=q\\p+q=\displaystyle\frac{5}{3}\end{cases}

 

以上より、p=q=\displaystyle\frac{5}{6} のとき、S の最小値は\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}

最後に

今回の問題は、2021宮崎大学の問題の誘導をなくし、少し条件を変えました。

もちろん様々な解法があると思いますが、ここでは難関大学で頻出テーマの「平面の方程式」を用いた解法を紹介しました。

また、入試問題における最重要テーマの1つである「相加平均・相乗平均の関係」も合わせて紹介しました。

この1問で入試問題の重要ポイントが学習できますので、ただ答えが出せるだけでなく、しっかりと考え方を大切にしてください!

3つの相加・相乗平均の関係|実践問題【慶応義塾大学】
相加平均・相乗平均の関係は入試頻出テーマ。 ただ公式を覚えているだけでは使えません。しっかりと使うタイミングを練習するための良問。

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