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最大値・最小値の確率(さいころ)、ベン図利用|2019 横浜国立大学・理工

数学(大学入試問題)

\(n\) を \(3\) 以上の整数とする.\(1\) 個のさいころを \(n\) 回投げたときに、出た目を大きい順に並べたものを \(X_{1} , X_{2} , \cdots , X_{n}\)  ( \(X_{1}≧X_{2}≧\cdots≧X_{n}\) ) とする.

例えば、\(1\) 個のさいころ \(5\) 回投げて、出た目が順に \(4 , 5 , 3 , 4 , 2\) であったとすると、

\(X_{1}=5 , X_{2}=4 , X_{3}=4 , X_{4}=3 , X_{5}=2\) となる.

\(1\) 個のさいころを \(n\) 回投げたとき、次の事象が起る確率をそれぞれ求めよ.

(1) \(X_{n}=2\)

(2) \(X_{2}=6\)

(3) \(X_{2}=6\) かつ \(X_{n}=2\)

考え方

『最小値が \(k\) の確率』

=『最小値が \(k\) 以上の確率』ー『最小値が \(k+1\) 以上の確率』

頻出問題の1つです!様々な大学で出題されていますので、この考え方はしっかりと身につけておきましょう!

ベン図の活用!
複雑になればなるほど、視覚的に捉えることができる「ベン図」を活用することで、頭の中も整理できます。

解答

(1) \(X_{n}=2\) となるのは、最小のさいころの目が \(2\) である.

よって、\(n\) 個のさいころにおいて、

「すべてが \(2\) 以上」 から、「すべてが \(3\) 以上」となる場合を除けばよい.

したがって求める確率は、\(\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^n-\left(\displaystyle\frac{4}{6}\right)^n=\displaystyle\frac{5^n-4^n}{6^n}\)

 

(2) \(X_{2}=6\) となるのは、「少なくとも \(2\) 回は \(6\) の目が出る」ことである.

その余事象は、「\(6\) の目が \(0\) 回」または「\(6\) の目が \(1\) 回」

(ア) \(6\) の目が \(0\) 回のとき

\(n\) 個すべてのさいころが \(1\) ~ \(5\) の目が出ればよいので、\(\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^n\)

(イ) \(6\) の目が \(1\) 回のとき

\(n\) 回のうち、何回目で \(6\) の目が出るか \(n\) 通りあるので、

\(n\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{6}\right)\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-1}\)

したがって求める確率は、

\(1-\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^n-n\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{6}\right)\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-1}=\displaystyle\frac{6^n-5^n-n\cdot5^{n-1}}{6^n}\)

 

(3) 事象 \(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)を

\(A\):すべてが \(2\) 以上

\(B\):すべてが \(3\) 以上

\(C\):\(6\) の目が \(0\) 回

\(D\):\(6\) の目が \(1\) 回

とすると、\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)は下図のベン図のような関係で表され、

\(X_{2}=6\) かつ \(X_{n}=2\) はベン図の斜線部である.

この事象が起る確率は、

\(P(A)-P(B)-P(A\cap C)-P(A\cap D)+P(B\cap C)+P(B\cap D)\) ・・・①

\(P(B\cap C)\) は「すべてが \(3 , 4 , 5\) 」となる確率であるから、

\(P(B\cap C)=\displaystyle\frac{3^n}{6^n}\)

また、\(P(B\cap D)\) は「\(6\) が \(1\) 回、他は \( 3 , 4 , 5\)」となる確率であるから、

\(P(B\cap D)=\displaystyle\frac{n\cdot3^{n-1}}{6^n}\)

同様に考え、

\(P(A\cap C)=\displaystyle\frac{4^n}{6^n}\)

\(P(A\cap D)=\displaystyle\frac{n\cdot4^{n-1}}{6^n}\)

①より、求める確率は、

\(\displaystyle\frac{5^n-2\cdot4^n-n\cdot4^{n-1}+3^n+n\cdot3^{n-1}}{6^n}\)

 

2017 京都大学の類題|さいころ・確率・最大値と最小値の差
場合の数・確率は、原則として正攻法または余事象で考える. どのようなときに正攻法、余事象を利用するのかについても言及.また、本問では両方の解法をそれぞれ紹介.



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