【例題】次の条件によって定められる数列の一般項を求めよ．
11．\(a_{1}=1\)，\(na_{n+1}=(n+1)a_{n}\)
漸化式は完全暗記もの！
数学が得意不得意に関わらず，ただただパターンを覚えてなければできるようになりません！
特にパターン５以降は，初めの１手を知っているかどうか，その１手さえ突破できれば，あとは基本のパターン１〜４に帰着します。
パターン11．階比数列型 [ \(a_{n+1}=f(n)a_{n}\) ]
考え方
\(a_{n+1}=f(n)a_{n}\)
👉 \(n≧2\) のとき，\(a_{n}=f(n-1)f(n-2)\cdots f(1)a_{1}\)
\(a_{n+1}=f(n)a_{n}\) のとき
\(n\) に \(n-1\) を代入して , \(a_{n}=f(n-1)a_{n-1}\) ・・・①
\(n\) に \(n-1\) を代入して , \(a_{n-1}=f(n-2)a_{n-2}\) ・・・②
②を①に代入すると，\(a_{n}=f(n-1)f(n-2)a_{n-2}\)
このように同様の作業を繰り返し続けていくと最後は
\(n\) に \(1\) を代入して，\(a_{2}=f(1)a_{1}\) を代入して
\(f(n)=f(n-1)f(n-2)\cdots f(1)a_{1}\) が導ける．
※ この考え方では，\(n\) ⇒ \(n-1\) ⇒ \(n-2\) ⇒ ・・・ ⇒ \(2\) ⇒ \(1\) と \(n\)の値を小さくしていった．
しかし , \(n=1\) のときはこれ以上小さくしていくことができないため， \(n≧2\) のときとなる．
解答・解説
\(a_{n+1}=\displaystyle\frac{n+1}{n}a_{n}\) より
\(n≧2\) のとき \(\left(f(n)=\displaystyle\frac{n+1}{n}\text{として考える}\right)\)
\(a_{n}=\displaystyle\frac{n}{n-1}\cdot\displaystyle\frac{n-1}{n-2}\cdot\displaystyle\frac{n-2}{n-3}\cdots\cdot\displaystyle\frac{3}{2}\cdot\displaystyle\frac{2}{1}\cdot a_{1}\)
よって，\(a_{n}=\displaystyle\frac{n}{1}a_{1}=n\)
これは \(n=1\) のときも成立
したがって，\(a_{n}=n\)
参考：別解
両辺を \(n(n+1)\) で割ると，\(\displaystyle\frac{a_{n+1}}{n+1}=\displaystyle\frac{a_{n}}{n}\)
よって，\(\displaystyle\frac{a_{n}}{n}=\displaystyle\frac{a_{n-1}}{n-1}=\cdots=\displaystyle\frac{a_{1}}{1}\)
したがって，\(\displaystyle\frac{a_{n}}{n}=\displaystyle\frac{a_{1}}{1}=1\) \(\iff\) \(a_{n}=n\)
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