直方体 ABCD-EFGH において、次の条件が与えられたときの直方体の体積の最大値 V を考える．
(1) AB+2AD+3AE=1 のとき、V を求めよ．
(2) AB+AD+AE+BD+DE+BE=1 のとき、V を求めよ．
考え方
AB=a、AD=b、AE=c とすると、
直方体の体積は abc (☜積の形)
また条件から、a+2b+3c=1 (☜和の形)
3 つの相加平均・相乗平均の関係
a≧0、b≧0、c≧0 のとき
\displaystyle\frac{a+b+c}{3}≧\sqrt[3]{abc}
等号成立は a=b=c のとき
相加相乗を使うタイミングなどについては、以下の記事を参考にしてください！
相加平均・相乗平均の関係はいつ使う？使うタイミングの見抜き方（基本）
相加平均・相乗平均の関係はいつ使う？使うタイミングの見抜き方（発展）
相加平均・相乗平均の関係については、ただ公式を覚えているだけでは役に立ちません。
入試問題でも頻出テーマの１つですから、しっかりと使いこなせることが出来るように！
解答
AB=a、AD=b、AE=c とする．
このとき直方体の体積は abc
また条件から、a+2b+3c=1 ・・・①
相加平均・相乗平均の関係より
a+2b+3c≧3\sqrt[3]{a\cdot 2b\cdot 3c}=3\sqrt[3]{6abc}
①より
1≧3\sqrt[3]{6abc}
abc≦\displaystyle\frac{1}{162}
等号成立は、a=2b=3c かつ a+2b+3c=1
つまり、a=\displaystyle\frac{1}{3}、b=\displaystyle\frac{1}{6}、c=\displaystyle\frac{1}{9} のとき、V=\displaystyle\frac{1}{162}
(2) 相加平均・相乗平均の関係より
a^2+b^2≧2\sqrt{a^2b^2}=2ab
同様に、b^2+c^2≧2bc、c^2+a^2≧2ca
また、AB+AD+AE+BD+DE+BE=1 より
a+b+c+\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}=1 ・・・②
a+b+c+\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\\≧a+b+c+\sqrt{2}(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\\3\sqrt[3]{a\cdot b\cdot c}+\sqrt{2}\cdot 3\sqrt[3]{ \sqrt{ab}\cdot \sqrt{bc}\cdot \sqrt{ca}}\\≧3\sqrt[3]{a\cdot b\cdot c}+3\sqrt{2}\sqrt[3]{abc}\\=3(\sqrt{2}+1) \sqrt[3]{abc}
②より
1≧3(\sqrt{2}+1) \sqrt[3]{abc}
よって、abc≦\displaystyle\frac{1}{3(\sqrt{2}+1)}= \displaystyle\frac{-7+5\sqrt{2}}{27}
等号成立は、a=b=c=\displaystyle\frac{\sqrt{2}-1}{3} のとき
V=\displaystyle\frac{-7+5\sqrt{2}}{27}
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