【2021九州大学】
以下の問いに答えよ．
(１) \(n\) を自然数とするとき，\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k2^{k-1}}\) を求めよ．
(２) 次のように定義される数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) の一般項を求めよ．
\(a_{1}=2\) , \(a_{n+1}=1+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(n+1-k)}a_{k}\)
(１)等差×等比数列の総和について
等差数列 \(\times\) 等比数列の総和(Σ)
⇒ 公比をかけて，差をとる．
(１)解答・解説
\(S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k2^{k-1}}\) とおく．
つまり，
\(S_{n}=\)\(1\cdot2^0\)\(+2\cdot2+3\cdot2^2+\cdots+n\cdot2^{n-1}\) ・・・①
①を \(2\) 倍すると
\(2S_{n}=\)\(1\cdot2+2\cdot2^2+3\cdot2^3+\cdots+(n-1)\cdot2^{n-1}\)\(+n\cdot2^n\) ・・・②
①ー②より
\(-S_{n}=\)\(1\cdot2^0\)\(+2+2^2+2^3+\cdots+2^{n-1}\)\(-n\cdot2^n\)
\(-S_{n}=\displaystyle\frac{2^n-1}{2-1}-n\cdot2^n\)
よって，\(S_{n}=(n-1)\cdot2^n+1\)
(２)実験→予想・推測→数学的帰納法(全段仮定)
漸化式の一般項を求める作業は，基本的には暗記分野です。まずは基本パターンをしっかりとおさえましょう！
漸化式のおさえておきたい有名・頻出パターンは「【漸化式】有名・頻出13パターン解法まとめ｜数学B数列」を参考にしてください。
本問では，「実験」を行い一般項を「予想・推測」し，数学的帰納法で証明するパターンになります。
また数学的帰納法は，一般的なものとは異なり，「全段仮定」を利用します。
全段仮定の数学的帰納法についての考え方は「【2010京都大学】数学的帰納法(全段仮定)｜差がつく良問(数学B数列)」を参考にしてください！
数学的帰納法(全段仮定)
(ⅰ) \(n = 1\) のとき
命題が成立することを示す
(ⅱ) \(n ≦ k\) のとき
命題が成立すると仮定し、\(n=k+1\) のとき命題が成立することを示す
全段仮定の数学的帰納法は，一般的な帰納法に比べると出題されるう頻度は少ないです。
しかし，経験がないとなかなか思いつく解法ではありません。(知っていれば簡単♩)
一般的な帰納法，２段仮定の数学的帰納法，そして本問の全段仮定の数学的帰納法の３タイプをしっかりとマスターしておきましょう！
(２)解答・解説
\(a_{1}=2\) , \(a_{n+1}=1+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(n+1-k)}a_{k}\) ・・・③
③に \(n=1\) を代入すると
\(a_{2}=1+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{1}{(2-k)}a_{k}\)
\(=1+\displaystyle\frac{1}{2}a_{1}=2\)
③に \(n=2\) を代入すると
\(a_{3}=1+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{2}{(3-k)}a_{k}\)
\(=1+\displaystyle\frac{1}{2}(2a_{1}+a_{2})=4\)
③に \(n=3\) を代入すると
\(a_{4}=1+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{3}{(4-k)}a_{k}\)
\(=1+\displaystyle\frac{1}{2}(3a_{1}+2a_{2}+a_{3})=8\)
よって，
\(n≧2\) のとき \(a_{n}=2^{n-1}\) ・・・④
と推測できる．④が成り立つことを数学的帰納法を用いて示す．
( ⅰ ) \(n=2\) のとき
\(a_{2}=2\) となり成立する
( ⅱ ) \(n=2,3,4,\cdots,l\) ( \(l≧2\) )となるすべての自然数で④が成立すると仮定する．
③に \(n=l\) を代入すると
\(a_{l+1}=1+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{l}{(l+1-k)}a_{k}\)
\(=1+\displaystyle\frac{1}{2}\left\{l\cdot a_{1}+\displaystyle\sum_{k=2}^{l}{(l+1-k)a_{k}}\right\}\)
仮定より
\(a_{l+1}=1+\displaystyle\frac{1}{2}\left\{2l+\displaystyle\sum_{k=2}^{l}{(l+1-k)2^{k-1}}\right\}\)
\(=1+l+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=2}^{l}{(l+1-k)2^{k-1}}\)
\(=1+l+\displaystyle\frac{1}{2}\left\{(l+1)\displaystyle\sum_{k=2}^{l}{2^{k-1}-\displaystyle\sum_{k=2}^{l}{k\cdot2^{k-1}}}\right\}\)
(１)の結果より
\(a_{l+1}=1+l+\displaystyle\frac{1}{2}\left\{(l+1)\cdot\displaystyle\frac{2(2^{l-1}-1)}{2-1}-\left\{1+(l-1)\cdot2^l-1\right\}\right\}=2^l\)
したがって，\(n=l+1\) のときも成立する．
以上より，
\(a_{n}=\begin{cases}2 ( n=1 )\\2^{n-1} ( n≧2 )\end{cases}\)
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