【2020京都大学・第３問(文)】mn^2+am^2+n^2+8が16で割り切れる整数m,n｜整数問題

考え方：偶数・奇数に注目

\(f(m,n)\) が \(16\) で割り切れるためには，\(f(m,n)\) が偶数ある必要がある．

\(a\) は奇数であるから

( ⅰ )　\(m\)，\(n\) がともに奇数のとき

\(mn^2\)，\(am^2\)，\(n^2\) はそれぞれ奇数

つまり，\(f(m,n)\) は奇数となり，題意を満たすことはない！

( ⅱ)　\(m\)，\(n\) の一方が偶数，もう一方が奇数のとき

\(mn^2\) は偶数，\(am^2+n^2\) は奇数

つまり，\(f(m,n)\) は奇数となり，題意を満たすことはない！

👉 \(f(m,n)\) が \(16\) で割り切れるためには，\(m\) , \(n\) がともに偶数ある必要がある．

👉 整数 \(p\)，\(q\) を用いて，\(m=2p\)，\(n=2q\) とおける．

解答

\(m\)，\(n\) の偶数・奇数について考えると，題意を満たすためには

\(m\)，\(n\) がともに偶数である必要がある．

よって，整数 \(p\)，\(q\) を用いて，\(m=2p\)，\(n=2q\) とおける．

\(f(m,n)=8pq^2+4ap^2+4q^2+8\)

\(f(m,n)=4(2pq^2+ap^2+q^2+2)\) であるから，

\(g(p,q)=2pq^2+ap^2+q^2+2\) とおくと，

題意を満たすためには，\(g(p,q)\) が \(4\) で割り切れればよい．

( ⅰ )　\(p\)，\(q\) の一方が奇数，もう一方が偶数のとき

\(2pq^2\) は偶数，\(ap^2+q^2\) は奇数より，\(g(p,q)\) は奇数となり不適．

( ⅱ )　\(p\)，\(q\) がともに偶数のとき

整数 \(x\)，\(y\) を用いて，\(p=2x\) , \(q=2y\) とおける

\(g(p,q)=16xy^2+4ax^2+4y^2+2\)

\(g(p,q)=4(4xy^2+ax^2+y^2)+2\)

よって，\(4\) で割ると \(2\) 余る数であるから不適．

( ⅲ )　\(p\)，\(q\) がともに奇数のとき

整数 \(x\)，\(y\) を用いて，\(p=2x+1\) , \(q=2y+1\) とおける

\(g(p,q)=2(2x+1)(2y+1)^2+2a(2x+1)^2+2(2y+1)^2+2\)

\(g(p,q)=4(4xy^2+4xy+x+3y^2+3y+ax^2+ax+1)+a+1\)

題意を満たすには，

\(a+1\) が \(4\) で割り切れればよい．

したがって， \(a\) は \(4\) で割って \(3\) 余る整数