【2021九州大学・理・第５問】
(１) 自然数 \(n\)、\(k\) が \(2≦k≦n-2\) をみたすとき、
\(_{n}C_{k}>n\) であることを示せ．
(２) \(p\) を素数とする．\(k≦n\) をみたす自然数の組 \((n,k)\) で
\(_{n}C_{k}=p\) となるものをすべて求めよ．
(１)考え方
\(_{n}C_{k}\) の計算について
不等式の証明について
\(A>B\) の不等式の証明の原則的な解法は、
\(A-B>0\) であることを示せばよい．
その他、不等式の証明の仕方については以下にまとめています。
ご参考にしてください。
(１)解答
\(_{n}C_{k}-n=\displaystyle\frac{n!}{k!(n-k)!}-n\)
\(=n\left\{\displaystyle\frac{(n-1)!}{k!(n-k)!}-1\right\}\)
\(=n\cdot\displaystyle\frac{(n-1)!-k!(n-k)!}{k!(n-k)!}\)
ここで、\(n>0\)、\(k!(n-k)!>0\) なので、
\(_{n}C_{k}>n\) を示すためには、\((n-1)!-k!(n-k)!>0\) を示せばよい．
\((n-1)!-k!(n-k)!\\=(n-k)!\left\{(n-1)\times(n-2)\times \cdots \times(n-k+1)-k!\right\}\)
\((n-k)!>0\) より、
\((n-1)\times(n-2)\times \cdots \times(n-k+1)-k!>0\) を示せばよい．
\(2≦k≦n-2\) より、
\(n-1>k\)
\(n-2>k-1\)
\(n-3>k-2\)
ああ・
ああ・
ああ・
\(n-k+1>2\)
これらの左辺、右辺の積を考えると、
\((n-1)(n-2)(n-3)\times \cdots \times(n-k+1)>k(k-1)(k-2)\times\cdots\times2\)
したがって、\((n-1)(n-2)(n-3)\times \cdots \times(n-k+1)>k!\) が成立するため、題意は示された．
(２)考え方
実験
また、この実験の結果と(１)の結果を見比べると・・・
(２)解答
(１)の結果より、\(2≦k≦n-2\) のとき \(_{n}C_{k}>n\) ・・・①
\(_{n}C_{k}=p\) より①から \(p>n\) ・・・②
また、\(_{n}C_{k}=p\) \(\iff\) \(\displaystyle\frac{n!}{k!(n-k)!}=p\)
よって、\(n!=p\times k!\times(n-k)!\)
右辺は \(p\) の倍数となるが、②より左辺は素数 \(p\) の倍数となり得ないため不適．
したがって、\(2≦k≦n-2\) のとき \(_{n}C_{k}=p\) とならないため、
\(k=1,n-1,n\) のいずれかを考えればよい．
(ア) \(k=1\) のとき
\(_{n}C_{1}=n=p\)
(イ) \(k=n-1\) のとき
\(_{n}C_{n-1}=_{n}C_{1}=n=p\)
(ウ) \(k=n\) のとき
\(_{n}C_{n}=1=p\) となり不適．
以上より、題意を満たす自然数の組 \((n,k)\) は、
\((n,k)=(p,1) , (p,p-1)\)
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