【京大対策・整数問題演習】n^3-19n+33が素数となるnをすべて求めよ(2021明治大学・農)

【2021明治大学・農】

数列 ${ a_{n} }$ を $a_{n}=n^3-19n+33$ と定める．ただし， $n$ は正の整数とする．

このとき， $a_{n}$ が素数となる $n$ をすべて求めよ．

2018京都大学の類題

【2018京都大学(文理共通)】

$n^3-7n+9$ が素数となるような整数 $n$ をすべて求めよ．

類題というよりも、パクリ？？と疑いたくなるようなほぼほぼ同じ問題です。

方針が見えない・経験したことがない方は、

を確認してください！どのように問題を考えていくのか、丁寧に解説しています。

また、以下では解答に合同式を用います。

合同式は整数問題を扱う上で必須アイテムになりますので、しっかりと使えるようにしておきましょう！

以下すべて、mod 3 として考える．

( ⅰ )　 $n≡0$ のとき

$a_{n}=n^3-19n+33≡0-0+33≡0$

( ⅱ )　 $n≡1$ のとき

$a_{n}=n^3-19n+33≡1-19+33=15≡0$

( ⅲ )　 $n≡2$ のとき

$a_{n}=n^3-19n+33≡8-38+33=3≡0$

( ⅰ ) 〜 ( ⅲ ) より

すべての自然数 $n$ において、 $a_{n}$ は $3$ の倍数となる．

『 $a_{n}$ が素数』かつ『 $a_{n}$ が $3$ の倍数』となるのは、

$a_{n}=3$ のときのみ

よって、 $n^3-19n+33=3$

$\iff$ $n^3-19n+30=0$

$\iff$ $(n-2)(n-3)(n+5)=0$

$n$ は正の整数であるから、

$n = 2 , 3$