【2022関西大学・全学部(文)】連立型の漸化式の一般項

【2022関西大学・全学部・文系】

次のように定められた数列 $a_{n}$ ， $b_{n}$ の一般項を求めよ．

$\begin{cases}a_{1}=2 \\ b_{1}=-1 \end{cases}$ ， $\begin{cases}a_{n+1}=6a_{n}+2b_{n}\\b_{n+1}=3a_{n}+5b_{n}\end{cases}$

解答・解説

連立型の漸化式です。これも完全パターン問題！

を参考に！

$a_{n+1}=6a_{n}+2b_{n}$ ・・・①

$b_{n+1}=3a_{n}+5b_{n}$ ・・・②　とおく．

① + ② $\times k$ より

$a_{n+1}+kb_{n+1}=(6+3k)a_{n}+(2+5k)b_{n}$ ・・・③

$1：k=(6+3k)：(2+5k)$ を満たすとき

$6k+3k^2=2+5k$

$3k^2+k-2=0$

$(k+1)(3k-2)=0$

$k=-1,\displaystyle\frac{2}{3}$

・ $k=-1$ のとき ③より

$a_{n+1}-b_{n+1}=3(a_{n}-b_{n})$

$a_{n}-b_{n}=(a_{1}-b_{1})\cdot 3^{n-1}$

よって， $a_{n}-b_{n}=3^n$ ・・・④

・ $k=\displaystyle\frac{2}{3}$ のとき ③より

$a_{n+1}+\displaystyle\frac{2}{3}b_{n+1}=8(a_{n}+\displaystyle\frac{2}{3}b_{n})$

$a_{n}+\displaystyle\frac{2}{3}b_{n}=\left(a_{1}+\displaystyle\frac{2}{3}b_{1}\right)\cdot 8^{n-1}$

よって， $a_{n}+\displaystyle\frac{2}{3}b_{n}=\displaystyle\frac{4}{3}\cdot 8^{n-1}$ ・・・⑤

⑤ー④より

$\displaystyle\frac{5}{3}b_{n}=\displaystyle\frac{4}{3}\cdot 8^{n-1}-3^n$

$b_{n}=\displaystyle\frac{1}{5}\left(2^{3n-1}-3^{n+1}\right)$

④から $a_{n}=b_{n}+3^n$ より

$a_{n}=\displaystyle\frac{1}{5}\left(2^{3n-1}+2\cdot 3^n\right)$