【2022大阪医科薬科大学・医学部】黒石3個と白石7個の並び方に関する順列・確率

解答・解説

(１)　黒石 $3$ 個と白石 $7$ 個の並び方

黒石 $3$ 個と白石 $7$ 個を一列に並べる総数は

$\displaystyle\frac{10!}{3!7!}=120$ 通り

(２)　黒石が $3$ 個連続する確率

黒石 $3$ 個を $1$ つのかたまりとして考える．

つまり，黒石 $3$ 個のかたまりと，白石 $7$ 個の $8$ 個を一列に並べるときを考え

$\displaystyle\frac{8!}{7!}=8$ 通り

したがって求める確率は，$\displaystyle\frac{8}{120}=\displaystyle\frac{1}{15}$

(３)　「 $2$ つ以上の連続した白石の両端に黒石がある」確率

余事象を考える．

黒石と黒石の間に白石が $0$ 個または $1$ 個のみ存在するときを考える．

( ⅰ )　黒石と黒石の間に白石が $0$ 個のとき

つまり黒石が $3$ 個連続するとき(２)より，$\displaystyle\frac{8}{120}$

( ⅱ )　黒石と黒石の間に白石が $1$ 個のとき

(ア)「黒白黒黒」または「黒黒白黒」のとき

これらの $4$ 個を $1$ つのかたまりとして考え並べればよいので $\displaystyle\frac{7!}{6!}=7$ 通り

「黒白黒黒」のときも「黒黒白黒」のとき同数ずつあるので，

よって，$\displaystyle\frac{7}{120}\times 2=\displaystyle\frac{14}{120}$

(イ)「黒白黒白黒」のとき

これらの $5$ 個を $1$ つのかたまりとして考え並べればよいので $\displaystyle\frac{6!}{5!}=6$ 通り

よって，$\displaystyle\frac{6}{120}$

以上から，

$\displaystyle\frac{8}{120}+\displaystyle\frac{14}{120}+\displaystyle\frac{6}{120}=\displaystyle\frac{28}{120}=\displaystyle\frac{7}{30}$

したがって求める確率は，$1-\displaystyle\frac{7}{30}=\displaystyle\frac{23}{30}$